Номер 254, страница 105 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

254. Из точки к плоскости проведены две наклонные. Найдите длину наклонных, учитывая, что:

а) одна из них на 14 см больше другой, а проекции наклонных равны 16 см и 40 см;

б) наклонные относятся как 1 : 2, а проекции наклонных равны 10 см и 70 см.

Пусть из точки, не лежащей в плоскости, проведены две наклонные. Длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость, равна $h$. Длины наклонных обозначим как $l_1$ и $l_2$, а длины их проекций на плоскость — как $p_1$ и $p_2$. Каждая наклонная, ее проекция и перпендикуляр образуют прямоугольный треугольник, где наклонная является гипотенузой, а перпендикуляр и проекция — катетами.
По теореме Пифагора имеем:
$l_1^2 = h^2 + p_1^2$
$l_2^2 = h^2 + p_2^2$
Выразим $h^2$ из обоих уравнений: $h^2 = l_1^2 - p_1^2$ и $h^2 = l_2^2 - p_2^2$.
Так как перпендикуляр $h$ является общим для обеих наклонных, мы можем приравнять правые части этих выражений, получив основное соотношение для решения задачи:
$l_1^2 - p_1^2 = l_2^2 - p_2^2$

а) По условию, проекции наклонных равны $p_1 = 16$ см и $p_2 = 40$ см. Одна наклонная на 14 см больше другой. Так как большей наклонной соответствует большая проекция ($p_2 > p_1$), то и $l_2 > l_1$. Пусть длина меньшей наклонной $l_1 = x$ см, тогда длина большей наклонной $l_2 = (x + 14)$ см.
Подставим эти значения в наше основное соотношение:
$x^2 - 16^2 = (x + 14)^2 - 40^2$
$x^2 - 256 = x^2 + 28x + 196 - 1600$
$x^2 - 256 = x^2 + 28x - 1404$
Перенесем члены с $x$ в одну сторону, а свободные члены — в другую:
$1404 - 256 = 28x$
$1148 = 28x$
$x = \frac{1148}{28} = 41$
Таким образом, длина одной наклонной $l_1 = 41$ см.
Длина второй наклонной $l_2 = x + 14 = 41 + 14 = 55$ см.
Ответ: 41 см и 55 см.

б) По условию, проекции наклонных равны $p_1 = 10$ см и $p_2 = 70$ см. Наклонные относятся как $1 : 2$. Так как большей проекции ($p_2 > p_1$) соответствует большая наклонная, то $l_2 > l_1$. Пусть длина меньшей наклонной $l_1 = x$ см, тогда длина большей наклонной $l_2 = 2x$ см.
Подставим эти значения в наше основное соотношение:
$x^2 - 10^2 = (2x)^2 - 70^2$
$x^2 - 100 = 4x^2 - 4900$
Перенесем члены с $x^2$ в одну сторону, а свободные члены — в другую:
$4900 - 100 = 4x^2 - x^2$
$4800 = 3x^2$
$x^2 = \frac{4800}{3} = 1600$
$x = \sqrt{1600} = 40$ (так как длина не может быть отрицательной).
Таким образом, длина одной наклонной $l_1 = 40$ см.
Длина второй наклонной $l_2 = 2x = 2 \cdot 40 = 80$ см.
Ответ: 40 см и 80 см.