Номер 248, страница 105 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

248. Из точки $A$ к плоскости $\alpha$ проведены четыре равные наклонные $AX, AY, AZ, AT$. Будут ли точки $X, Y, Z, T$ принадлежать одной окружности, центром которой является проекция $O$ точки $A$ на плоскость $\alpha$?

Да, точки $X, Y, Z, T$ будут принадлежать одной окружности, центром которой является проекция $O$ точки $A$ на плоскость $\alpha$. Ниже представлено подробное доказательство этого утверждения.

По условию задачи, из точки $A$ к плоскости $\alpha$ проведены четыре равные наклонные $AX, AY, AZ, AT$. Это означает, что их длины равны: $AX = AY = AZ = AT$. Точка $O$ является проекцией точки $A$ на плоскость $\alpha$. По определению проекции, отрезок $AO$ является перпендикуляром, опущенным из точки $A$ на плоскость $\alpha$, следовательно, $AO \perp \alpha$.

Отрезки $OX, OY, OZ, OT$ являются проекциями наклонных $AX, AY, AZ, AT$ на плоскость $\alpha$.

Рассмотрим треугольники, образованные каждой наклонной, ее проекцией и перпендикуляром $AO$. Поскольку $AO$ перпендикулярен плоскости $\alpha$, он перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через его основание — точку $O$. В частности, $AO \perp OX$, $AO \perp OY$, $AO \perp OZ$ и $AO \perp OT$. Это означает, что треугольники $\triangle AOX, \triangle AOY, \triangle AOZ$ и $\triangle AOT$ являются прямоугольными, и их прямой угол находится в вершине $O$.

Во всех этих прямоугольных треугольниках:

• катет $AO$ является общим;
• гипотенузы $AX, AY, AZ, AT$ равны по условию задачи.

Применим теорему Пифагора для каждого из этих треугольников, которая гласит, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов ($c^2 = a^2 + b^2$):
$AX^2 = AO^2 + OX^2$
$AY^2 = AO^2 + OY^2$
$AZ^2 = AO^2 + OZ^2$
$AT^2 = AO^2 + OT^2$

Из этих уравнений выразим квадраты длин проекций (катетов $OX, OY, OZ, OT$):
$OX^2 = AX^2 - AO^2$
$OY^2 = AY^2 - AO^2$
$OZ^2 = AZ^2 - AO^2$
$OT^2 = AT^2 - AO^2$

Так как по условию $AX = AY = AZ = AT$ (и, следовательно, их квадраты равны), а катет $AO$ — общий, правые части всех четырех уравнений равны. Отсюда следует, что равны и левые части:
$OX^2 = OY^2 = OZ^2 = OT^2$

Поскольку длина отрезка — это неотрицательная величина, из равенства квадратов длин следует и равенство самих длин:
$OX = OY = OZ = OT$

Это равенство означает, что точки $X, Y, Z, T$, которые лежат в плоскости $\alpha$, находятся на одинаковом расстоянии от точки $O$, которая также лежит в этой плоскости. По определению, геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от одной ее точки (называемой центром), есть окружность. Радиус этой окружности равен этому постоянному расстоянию.

Таким образом, мы доказали, что точки $X, Y, Z, T$ лежат на одной окружности с центром в точке $O$ и радиусом $R = OX$.

Ответ: Да, точки X, Y, Z, T будут принадлежать одной окружности, центром которой является проекция O точки A на плоскость α.