Номер 9, страница 103 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

9. Сформулируйте утверждение об общем перпендикуляре двух скрещивающихся прямых.

Утверждение об общем перпендикуляре двух скрещивающихся прямых является одной из ключевых теорем стереометрии. Она формулируется следующим образом:

Для любых двух скрещивающихся прямых существует единственный отрезок, концы которого лежат на этих прямых и который перпендикулярен им обеим.

Этот отрезок называется общим перпендикуляром двух скрещивающихся прямых. Его длина по определению является расстоянием между скрещивающимися прямыми.

Разберем это утверждение подробнее. Пусть даны две скрещивающиеся прямые $a$ и $b$. Это означает, что они не лежат в одной плоскости, то есть не пересекаются и не параллельны.

Утверждение состоит из двух основных частей:

1. Существование. Всегда можно построить отрезок $MN$, где точка $M$ лежит на прямой $a$, а точка $N$ — на прямой $b$, и при этом отрезок $MN$ перпендикулярен как прямой $a$, так и прямой $b$. То есть, выполняются условия $MN \perp a$ и $MN \perp b$.

2. Единственность. Для данной пары скрещивающихся прямых такой отрезок $MN$ только один. Невозможно построить другой общий перпендикуляр.

Идея доказательства существования заключается в построении. Например, можно через прямую $a$ провести плоскость $\alpha$, параллельную прямой $b$. Затем ортогонально спроецировать прямую $b$ на эту плоскость. Проекция $b'$ пересечет прямую $a$ в точке $M$. Восстановив перпендикуляр из точки $M$ к плоскости $\alpha$, мы найдем на прямой $b$ точку $N$. Отрезок $MN$ и будет искомым общим перпендикуляром.

Доказательство единственности обычно проводят методом от противного. Предполагают, что существует второй общий перпендикуляр, и показывают, что это допущение приводит к противоречию (например, к выводу, что прямые $a$ и $b$ на самом деле параллельны, что противоречит условию).

Важным следствием этой теоремы является то, что длина общего перпендикуляра $|MN|$ — это кратчайшее расстояние между всеми возможными точками на прямых $a$ и $b$. Для любых других точек $X$, лежащей на прямой $a$, и $Y$, лежащей на прямой $b$, длина отрезка $|XY|$ будет больше или равна длине $|MN|$, причем равенство достигается только когда $X=M$ и $Y=N$.

Ответ: Для любых двух скрещивающихся прямых в пространстве существует общий перпендикуляр, и он только один. Длина этого общего перпендикуляра является расстоянием между данными прямыми.