Номер 247, страница 104 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

247*. Точка $K$ — середина ребра $A_1B_1$ единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Постройте сечение куба и найдите его периметр и площадь,

учитывая, что плоскость проходит через точку $K$ и перпендикулярна прямой:

а) $DD_1$;

б) $CD$;

в) $C_1D$;

г) $CD_1$;

д) $BD$.

Введем прямоугольную систему координат с началом в вершине $D$ и осями, направленными вдоль ребер $DA$, $DC$ и $DD_1$. В этой системе координат вершины единичного куба имеют координаты $A(1,0,0)$, $B(1,1,0)$, $C(0,1,0)$, $D(0,0,0)$, $A_1(1,0,1)$, $B_1(1,1,1)$, $C_1(0,1,1)$, $D_1(0,0,1)$.

Точка $K$ — середина ребра $A_1B_1$. Координаты $A_1(1,0,1)$ и $B_1(1,1,1)$.
Координаты точки $K$: $(\frac{1+1}{2}; \frac{0+1}{2}; \frac{1+1}{2}) = (1; \frac{1}{2}; 1)$.

Плоскость сечения $\alpha$ проходит через точку $K$ и перпендикулярна заданной прямой.

Построение сечения: Прямая $DD_1$ параллельна оси $Oz$. Плоскость $\alpha$, перпендикулярная $DD_1$, параллельна плоскости $Oxy$. Уравнение такой плоскости имеет вид $z = c$. Так как плоскость проходит через точку $K(1; 1/2; 1)$, ее уравнение $z=1$. Эта плоскость совпадает с плоскостью верхней грани куба $A_1B_1C_1D_1$. Следовательно, сечением куба является квадрат $A_1B_1C_1D_1$.

Нахождение периметра и площади: Сечение — это квадрат со стороной, равной ребру куба, то есть 1. Периметр сечения $P = 4 \cdot 1 = 4$. Площадь сечения $S = 1^2 = 1$.

Ответ: Сечение — квадрат $A_1B_1C_1D_1$. Периметр равен 4, площадь равна 1.

Построение сечения: Прямая $CD$ лежит на оси $Oy$. Плоскость $\alpha$, перпендикулярная $CD$, параллельна плоскости $Oxz$. Уравнение такой плоскости имеет вид $y = c$. Так как плоскость проходит через точку $K(1; 1/2; 1)$, ее уравнение $y = 1/2$. Найдем точки пересечения этой плоскости с ребрами куба:

• На ребре $A_1B_1$ (уравнения $x=1, z=1, 0 \le y \le 1$): $y=1/2$. Точка $K(1, 1/2, 1)$.
• На ребре $C_1D_1$ (уравнения $x=0, z=1, 0 \le y \le 1$): $y=1/2$. Точка $N(0, 1/2, 1)$ (середина $C_1D_1$).
• На ребре $AB$ (уравнения $x=1, z=0, 0 \le y \le 1$): $y=1/2$. Точка $L(1, 1/2, 0)$ (середина $AB$).
• На ребре $CD$ (уравнения $x=0, z=0, 0 \le y \le 1$): $y=1/2$. Точка $M(0, 1/2, 0)$ (середина $CD$).

Сечение — четырехугольник $KLMN$. Так как отрезки $KL$ и $NM$ соединяют середины параллельных ребер, они параллельны и равны ребру $DD_1$, то есть их длина равна 1. Отрезки $KN$ и $LM$ соединяют середины параллельных ребер, их длина равна ребру $AD$, то есть 1. Таким образом, $KLMN$ — квадрат.

Нахождение периметра и площади: Сечение — это квадрат со стороной 1. Периметр сечения $P = 4 \cdot 1 = 4$. Площадь сечения $S = 1^2 = 1$.

Ответ: Сечение — квадрат, проходящий через середины ребер $A_1B_1$, $C_1D_1$, $CD$, $AB$. Периметр равен 4, площадь равна 1.

Построение сечения: Вектор, направляющий для прямой $C_1D$, это $\vec{DC_1} = (0, 1, 1)$. Этот вектор является нормальным вектором $\vec{n}$ для плоскости сечения $\alpha$. Уравнение плоскости $\alpha$: $0(x-x_0) + 1(y-y_0) + 1(z-z_0) = 0$. Подставим координаты точки $K(1; 1/2; 1)$: $y - 1/2 + z - 1 = 0$, или $y+z = 3/2$. Найдем точки пересечения этой плоскости с ребрами куба:

• Ребро $A_1B_1$: $y+1 = 3/2 \Rightarrow y=1/2$. Точка $K(1, 1/2, 1)$.
• Ребро $C_1D_1$: $y+1 = 3/2 \Rightarrow y=1/2$. Точка $N(0, 1/2, 1)$ (середина $C_1D_1$).
• Ребро $BB_1$: $1+z = 3/2 \Rightarrow z=1/2$. Точка $P(1, 1, 1/2)$ (середина $BB_1$).
• Ребро $CC_1$: $1+z = 3/2 \Rightarrow z=1/2$. Точка $Q(0, 1, 1/2)$ (середина $CC_1$).

Сечение — четырехугольник $KNQP$.

Нахождение периметра и площади: Найдем длины сторон: $KN = \sqrt{(1-0)^2 + (1/2-1/2)^2 + (1-1)^2} = 1$. $NQ = \sqrt{(0-0)^2 + (1-1/2)^2 + (1/2-1)^2} = \sqrt{(1/2)^2 + (-1/2)^2} = \sqrt{1/2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. $QP = \sqrt{(1-0)^2 + (1-1)^2 + (1/2-1/2)^2} = 1$. $PK = \sqrt{(1-1)^2 + (1/2-1)^2 + (1-1/2)^2} = \sqrt{(-1/2)^2 + (1/2)^2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Векторы $\vec{KN}=(-1,0,0)$ и $\vec{NQ}=(0, 1/2, -1/2)$. Скалярное произведение $\vec{KN} \cdot \vec{NQ}=0$, значит, $\angle KNQ = 90^\circ$. Сечение $KNQP$ — прямоугольник со сторонами 1 и $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Периметр сечения $P = 2(1 + \frac{\sqrt{2}}{2}) = 2 + \sqrt{2}$. Площадь сечения $S = 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: Сечение — прямоугольник со сторонами 1 и $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Периметр равен $2 + \sqrt{2}$, площадь равна $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Построение сечения: Вектор, направляющий для прямой $CD_1$, это $\vec{CD_1} = (0, -1, 1)$. Это нормальный вектор $\vec{n}$ для плоскости $\alpha$. Уравнение плоскости $\alpha$: $0(x-x_0) - 1(y-y_0) + 1(z-z_0) = 0$. Подставим координаты точки $K(1; 1/2; 1)$: $-(y - 1/2) + z - 1 = 0$, или $z-y = 1/2$. Найдем точки пересечения этой плоскости с ребрами куба:

• Ребро $A_1B_1$: $1-y = 1/2 \Rightarrow y=1/2$. Точка $K(1, 1/2, 1)$.
• Ребро $C_1D_1$: $1-y = 1/2 \Rightarrow y=1/2$. Точка $N(0, 1/2, 1)$ (середина $C_1D_1$).
• Ребро $AA_1$: $z-0 = 1/2 \Rightarrow z=1/2$. Точка $L(1, 0, 1/2)$ (середина $AA_1$).
• Ребро $DD_1$: $z-0 = 1/2 \Rightarrow z=1/2$. Точка $M(0, 0, 1/2)$ (середина $DD_1$).

Сечение — четырехугольник $KLNM$.

Нахождение периметра и площади: Найдем длины сторон: $KN = \sqrt{(1-0)^2 + (1/2-1/2)^2 + (1-1)^2} = 1$. $NM = \sqrt{(0-0)^2 + (1/2-0)^2 + (1-1/2)^2} = \sqrt{(1/2)^2+(1/2)^2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. $ML = \sqrt{(1-0)^2 + (0-0)^2 + (1/2-1/2)^2} = 1$. $LK = \sqrt{(1-1)^2 + (0-1/2)^2 + (1/2-1)^2} = \sqrt{(-1/2)^2+(-1/2)^2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Векторы $\vec{LK}=(0, 1/2, 1/2)$ и $\vec{KN}=(-1,0,0)$. Скалярное произведение $\vec{LK} \cdot \vec{KN}=0$, значит, $\angle LKN = 90^\circ$. Сечение $KLNM$ — прямоугольник со сторонами 1 и $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Периметр сечения $P = 2(1 + \frac{\sqrt{2}}{2}) = 2 + \sqrt{2}$. Площадь сечения $S = 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: Сечение — прямоугольник со сторонами 1 и $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Периметр равен $2 + \sqrt{2}$, площадь равна $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Построение сечения: Вектор, направляющий для прямой $BD$, это $\vec{DB} = (1, 1, 0)$. Это нормальный вектор $\vec{n}$ для плоскости $\alpha$. Уравнение плоскости $\alpha$: $1(x-x_0) + 1(y-y_0) + 0(z-z_0) = 0$. Подставим координаты точки $K(1; 1/2; 1)$: $x - 1 + y - 1/2 = 0$, или $x+y = 3/2$. Найдем точки пересечения этой плоскости с ребрами куба:

• Ребро $A_1B_1$: $1+y = 3/2 \Rightarrow y=1/2$. Точка $K(1, 1/2, 1)$.
• Ребро $B_1C_1$: $x+1 = 3/2 \Rightarrow x=1/2$. Точка $N(1/2, 1, 1)$ (середина $B_1C_1$).
• Ребро $BC$: $x+1 = 3/2 \Rightarrow x=1/2$. Точка $M(1/2, 1, 0)$ (середина $BC$).
• Ребро $AB$: $1+y = 3/2 \Rightarrow y=1/2$. Точка $L(1, 1/2, 0)$ (середина $AB$).

Сечение — четырехугольник $KNML$.

Нахождение периметра и площади: Найдем длины сторон: $KN = \sqrt{(1-1/2)^2 + (1/2-1)^2 + (1-1)^2} = \sqrt{(1/2)^2 + (-1/2)^2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. $NM = \sqrt{(1/2-1/2)^2 + (1-1)^2 + (1-0)^2} = 1$. $ML = \sqrt{(1-1/2)^2 + (1/2-1)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{(1/2)^2 + (-1/2)^2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. $LK = \sqrt{(1-1)^2 + (1/2-1/2)^2 + (0-1)^2} = 1$. Векторы $\vec{LK}=(0,0,-1)$ и $\vec{KN}=(-1/2, 1/2, 0)$. Скалярное произведение $\vec{LK} \cdot \vec{KN}=0$, значит, $\angle LKN = 90^\circ$. Сечение $KNML$ — прямоугольник со сторонами 1 и $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Периметр сечения $P = 2(1 + \frac{\sqrt{2}}{2}) = 2 + \sqrt{2}$. Площадь сечения $S = 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: Сечение — прямоугольник со сторонами 1 и $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Периметр равен $2 + \sqrt{2}$, площадь равна $\frac{\sqrt{2}}{2}$.