Номер 251, страница 105 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

251. Из точки к плоскости проведены две наклонные длиной 2 м каждая. Найдите расстояние от точки до плоскости, учитывая, что наклонные образуют угол в $60^\circ$, а их проекции перпендикулярны.

Пусть $A$ — точка, из которой проведены наклонные, а $\alpha$ — плоскость. Пусть $AO$ — перпендикуляр, опущенный из точки $A$ на плоскость $\alpha$, где $O$ — основание перпендикуляра. Длина этого перпендикуляра $AO$ и есть искомое расстояние от точки до плоскости. Обозначим это расстояние $h$, то есть $AO = h$.

Пусть $AB$ и $AC$ — две наклонные, проведенные из точки $A$ к плоскости $\alpha$, где $B$ и $C$ — точки на плоскости. По условию, длины наклонных равны: $AB = AC = 2$ м.

Отрезки $OB$ и $OC$ являются проекциями наклонных $AB$ и $AC$ на плоскость $\alpha$ соответственно. Так как $AO$ перпендикулярен плоскости $\alpha$, то треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle AOC$ являются прямоугольными с прямыми углами при вершине $O$.

По условию, угол между наклонными равен $60^\circ$, то есть $\angle BAC = 60^\circ$. Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Так как $AB = AC = 2$ м, то он является равнобедренным. Угол при вершине $\angle BAC = 60^\circ$, следовательно, углы при основании также равны $60^\circ$ ($(\frac{180^\circ - 60^\circ}{2}) = 60^\circ$). Таким образом, $\triangle ABC$ — равносторонний, и все его стороны равны 2 м. В частности, $BC = 2$ м.

Теперь рассмотрим проекции. По условию, проекции наклонных перпендикулярны, то есть $OB \perp OC$, а значит $\angle BOC = 90^\circ$. Следовательно, треугольник $\triangle BOC$, лежащий в плоскости $\alpha$, является прямоугольным.

В прямоугольных треугольниках $\triangle AOB$ и $\triangle AOC$ катет $AO$ — общий, а гипотенузы $AB$ и $AC$ равны. Отсюда следует, что и вторые катеты равны: $OB = OC$. Обозначим их длину как $x$.

Применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику $\triangle BOC$:
$OB^2 + OC^2 = BC^2$
$x^2 + x^2 = 2^2$
$2x^2 = 4$
$x^2 = 2$
$x = \sqrt{2}$ м.
Итак, длина каждой проекции равна $\sqrt{2}$ м.

Наконец, найдем искомое расстояние $h = AO$. Применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику $\triangle AOB$:
$AO^2 + OB^2 = AB^2$
$h^2 + x^2 = 2^2$
$h^2 + (\sqrt{2})^2 = 4$
$h^2 + 2 = 4$
$h^2 = 2$
$h = \sqrt{2}$ м.

Ответ: $\sqrt{2}$ м.