Номер 252, страница 105 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

252. Длина перпендикуляра $PQ$ из точки $P$ к плоскости равна 1, а длина наклонных $PA$ и $PB$ к этой же плоскости равна 2. Точка $C$ — середина отрезка $AB$. Найдите $QC$, учитывая, что:

a) $\angle APB = 90^\circ$;

б) $\angle APB = \beta$.

По условию задачи, $PQ$ — перпендикуляр из точки $P$ к плоскости, в которой лежат точки $A, B, C, Q$. Следовательно, $PQ$ перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку $Q$. В частности, $PQ \perp QA$ и $PQ \perp QB$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle PQA$ и $\triangle PQB$. Катет $PQ=1$ является общим, а гипотенузы $PA=2$ и $PB=2$ равны по условию.

По теореме Пифагора найдем длины проекций наклонных $QA$ и $QB$:

$QA^2 = PA^2 - PQ^2 = 2^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3$, откуда $QA = \sqrt{3}$.

$QB^2 = PB^2 - PQ^2 = 2^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3$, откуда $QB = \sqrt{3}$.

Рассмотрим треугольник $\triangle APB$. Он равнобедренный, так как $PA = PB = 2$. Отрезок $PC$ является медианой, так как $C$ — середина $AB$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle PQC$. Поскольку $PQ$ перпендикулярен плоскости, в которой лежит отрезок $QC$, то $PQ \perp QC$. Следовательно, $\triangle PQC$ — прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине $Q$. По теореме Пифагора: $PC^2 = PQ^2 + QC^2$. Отсюда мы можем выразить искомую длину $QC$:

$QC^2 = PC^2 - PQ^2$

$QC = \sqrt{PC^2 - 1}$

Для решения задачи нам нужно найти длину медианы $PC$ в треугольнике $\triangle APB$.

а) если $\angle APB = 90^\circ$

В этом случае $\triangle APB$ является прямоугольным равнобедренным треугольником. $PC$ — медиана, проведенная к гипотенузе $AB$. Длина медианы, проведенной к гипотенузе, равна половине длины гипотенузы.

Найдем гипотенузу $AB$ по теореме Пифагора:

$AB^2 = PA^2 + PB^2 = 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8$

$AB = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

Тогда длина медианы $PC$ равна:

$PC = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}(2\sqrt{2}) = \sqrt{2}$

Теперь найдем $QC$ из прямоугольного треугольника $\triangle PQC$:

$QC = \sqrt{PC^2 - 1} = \sqrt{(\sqrt{2})^2 - 1} = \sqrt{2 - 1} = \sqrt{1} = 1$

Ответ: $1$

б) если $\angle APB = \beta$

В равнобедренном треугольнике $\triangle APB$ медиана $PC$ является также высотой и биссектрисой. Следовательно, $\angle APC = \frac{\beta}{2}$ и $\triangle APC$ — прямоугольный треугольник с прямым углом $C$.

Из прямоугольного треугольника $\triangle APC$ найдем длину катета $PC$:

$\cos(\angle APC) = \frac{PC}{PA}$

$PC = PA \cdot \cos(\frac{\beta}{2}) = 2\cos(\frac{\beta}{2})$

Теперь найдем $QC$ из прямоугольного треугольника $\triangle PQC$:

$QC^2 = PC^2 - PQ^2 = (2\cos(\frac{\beta}{2}))^2 - 1^2 = 4\cos^2(\frac{\beta}{2}) - 1$

Используем формулу понижения степени (или косинуса двойного угла) $ \cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2} $:

$QC^2 = 4 \cdot \frac{1 + \cos(\beta)}{2} - 1 = 2(1 + \cos(\beta)) - 1 = 2 + 2\cos(\beta) - 1 = 1 + 2\cos(\beta)$

$QC = \sqrt{1 + 2\cos(\beta)}$

Ответ: $\sqrt{1 + 2\cos(\beta)}$