Номер 13, страница 103 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

13. Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (см. рис. 256). Назовите отрезок, длина которого выражает расстояние между точкой $A$ и прямой:

а) $BC$;

б) $A_1B_1$;

в) $CC_1$;

г) $D_1C_1$.

Рис. 256

а) Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Точка $A$ и прямая $BC$ лежат в одной плоскости — плоскости основания $ABCD$. Так как $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — прямоугольный параллелепипед, его грань $ABCD$ является прямоугольником. В прямоугольнике смежные стороны перпендикулярны, следовательно, ребро $AB$ перпендикулярно ребру $BC$ ($AB \perp BC$). Отрезок $AB$ соединяет точку $A$ с точкой $B$ на прямой $BC$ и является перпендикуляром к этой прямой. Таким образом, длина отрезка $AB$ и есть расстояние от точки $A$ до прямой $BC$.
Ответ: $AB$.

б) Точка $A$ и прямая $A_1B_1$ лежат в одной плоскости — плоскости боковой грани $AA_1B_1B$. Эта грань является прямоугольником. В прямоугольнике смежные стороны перпендикулярны, следовательно, ребро $AA_1$ перпендикулярно ребру $A_1B_1$ ($AA_1 \perp A_1B_1$). Отрезок $AA_1$ соединяет точку $A$ с точкой $A_1$ на прямой $A_1B_1$ и является перпендикуляром к этой прямой. Таким образом, длина отрезка $AA_1$ и есть расстояние от точки $A$ до прямой $A_1B_1$.
Ответ: $AA_1$.

в) Прямая $CC_1$ является боковым ребром прямоугольного параллелепипеда, поэтому она перпендикулярна плоскости основания $ABCD$. Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Отрезок $AC$ является диагональю основания и лежит в плоскости $ABCD$. Следовательно, прямая $CC_1$ перпендикулярна прямой $AC$ ($CC_1 \perp AC$). Отрезок $AC$ соединяет точку $A$ с точкой $C$ на прямой $CC_1$ и является перпендикуляром к этой прямой. Таким образом, длина отрезка $AC$ и есть расстояние от точки $A$ до прямой $CC_1$.
Ответ: $AC$.

г) Рассмотрим прямую $D_1C_1$. Эта прямая перпендикулярна плоскости боковой грани $ADD_1A_1$. Это следует из того, что:
1. Грань $A_1B_1C_1D_1$ — прямоугольник, поэтому $D_1C_1 \perp A_1D_1$.
2. Грань $DCC_1D_1$ — прямоугольник, поэтому $D_1C_1 \perp DD_1$.
Поскольку прямая $D_1C_1$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($A_1D_1$ и $DD_1$) в плоскости $ADD_1A_1$, она перпендикулярна всей этой плоскости.
Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Отрезок $AD_1$ является диагональю грани $ADD_1A_1$ и, следовательно, лежит в этой плоскости. Значит, $D_1C_1 \perp AD_1$.
Отрезок $AD_1$ соединяет точку $A$ с точкой $D_1$ на прямой $D_1C_1$ и является перпендикуляром к этой прямой. Таким образом, длина отрезка $AD_1$ и есть расстояние от точки $A$ до прямой $D_1C_1$.
Ответ: $AD_1$.