Номер 4, страница 103 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

4. Что называется расстоянием от точки до плоскости?

Расстоянием от точки до плоскости, не содержащей эту точку, называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную плоскость.

Чтобы наглядно представить это, вообразим точку $M$ в пространстве и плоскость $\alpha$. Из точки $M$ можно провести бесконечно много отрезков до различных точек на плоскости $\alpha$. Однако среди них есть один уникальный отрезок — перпендикуляр. Это отрезок $MH$, где точка $H$ лежит в плоскости $\alpha$, а прямая $MH$ перпендикулярна плоскости $\alpha$. Точка $H$ называется основанием перпендикуляра. Длина этого отрезка $|MH|$ и является искомым расстоянием.

Важнейшее свойство перпендикуляра заключается в том, что он короче любого другого отрезка, соединяющего точку $M$ с плоскостью $\alpha$. Любой такой другой отрезок, например $MK$ (где $K$ — любая точка на плоскости $\alpha$, отличная от $H$), называется наклонной. В прямоугольном треугольнике $\triangle MHK$ отрезок $MH$ является катетом, а наклонная $MK$ — гипотенузой. Следовательно, $|MK| > |MH|$, что доказывает, что перпендикуляр — это кратчайшее расстояние.

В аналитической геометрии, если заданы координаты точки $M_0(x_0, y_0, z_0)$ и общее уравнение плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$, то расстояние $d$ можно вычислить по формуле:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

Ответ: Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на эту плоскость.