Номер 244, страница 96 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

244*. Есть правильная треугольная призма $MNKM_1N_1K_1$. Точки $A$ и $B$ — середины рёбер $MK$ и $KK_1$ соответственно. Через эти точки проведены прямые, перпендикулярные грани $MM_1N_1N$ и пересекающие её в точках $P$ и $Q$ соответственно. Найдите сторону основания и боковое ребро призмы, учитывая, что $AB = 2\sqrt{61}$ см, а $PQ = 13$ см.

Пусть сторона основания правильной треугольной призмы $MNKM_1N_1K_1$ равна $a$, а длина бокового ребра равна $h$. Основаниями призмы являются равносторонние треугольники $MNK$ и $M_1N_1K_1$, а боковые грани — прямоугольники.

Для решения задачи введём трёхмерную систему координат. Поместим начало координат в точку $M(0, 0, 0)$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $MN$, а ось $Oz$ — вдоль бокового ребра $MM_1$. Тогда плоскость основания $MNK$ будет совпадать с плоскостью $Oxy$.

Координаты вершин основания $MNK$ будут следующими:

• $M(0, 0, 0)$
• $N(a, 0, 0)$
• Высота равностороннего треугольника $MNK$, проведённая из вершины $K$ к стороне $MN$, равна $\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Координаты вершины $K$ будут $K(a/2, a\sqrt{3}/2, 0)$.

Координаты соответствующей вершины верхнего основания: $K_1(a/2, a\sqrt{3}/2, h)$.

Теперь найдём координаты точек $A$ и $B$.

• Точка $A$ — середина ребра $MK$. Её координаты равны полусумме координат точек $M$ и $K$:
  $A\left(\frac{0+a/2}{2}; \frac{0+a\sqrt{3}/2}{2}; \frac{0+0}{2}\right) = A\left(\frac{a}{4}; \frac{a\sqrt{3}}{4}; 0\right)$
• Точка $B$ — середина ребра $KK_1$. Её координаты равны полусумме координат точек $K$ и $K_1$:
  $B\left(\frac{a/2+a/2}{2}; \frac{a\sqrt{3}/2+a\sqrt{3}/2}{2}; \frac{0+h}{2}\right) = B\left(\frac{a}{2}; \frac{a\sqrt{3}}{2}; \frac{h}{2}\right)$

Найдём квадрат расстояния между точками $A$ и $B$ по формуле $d^2 = (x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2$:

$AB^2 = \left(\frac{a}{2} - \frac{a}{4}\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{2} - \frac{a\sqrt{3}}{4}\right)^2 + \left(\frac{h}{2} - 0\right)^2$

$AB^2 = \left(\frac{a}{4}\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{4}\right)^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2 = \frac{a^2}{16} + \frac{3a^2}{16} + \frac{h^2}{4} = \frac{4a^2}{16} + \frac{h^2}{4} = \frac{a^2}{4} + \frac{h^2}{4}$

По условию задачи $AB = 2\sqrt{61}$ см, значит $AB^2 = (2\sqrt{61})^2 = 4 \cdot 61 = 244$.

Получаем первое уравнение: $\frac{a^2}{4} + \frac{h^2}{4} = 244$, или $a^2 + h^2 = 976$.

Теперь рассмотрим точки $P$ и $Q$. Они лежат на грани $MM_1N_1N$. В нашей системе координат эта грань лежит в плоскости $y=0$. Точки $P$ и $Q$ — это ортогональные проекции точек $A$ и $B$ на плоскость $y=0$. Чтобы найти их координаты, нужно в координатах точек $A$ и $B$ обнулить координату $y$.

• $P\left(\frac{a}{4}; 0; 0\right)$
• $Q\left(\frac{a}{2}; 0; \frac{h}{2}\right)$

Найдём квадрат расстояния между точками $P$ и $Q$:

$PQ^2 = \left(\frac{a}{2} - \frac{a}{4}\right)^2 + (0-0)^2 + \left(\frac{h}{2} - 0\right)^2 = \left(\frac{a}{4}\right)^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2 = \frac{a^2}{16} + \frac{h^2}{4}$

По условию $PQ = 13$ см, значит $PQ^2 = 13^2 = 169$.

Получаем второе уравнение: $\frac{a^2}{16} + \frac{h^2}{4} = 169$.

Теперь решим систему из двух полученных уравнений:

$\begin{cases} a^2 + h^2 = 976 \\ \frac{a^2}{16} + \frac{h^2}{4} = 169 \end{cases}$

Умножим второе уравнение на 16, чтобы избавиться от знаменателей:

$a^2 + 4h^2 = 169 \cdot 16 = 2704$.

Система принимает вид:

$\begin{cases} a^2 + h^2 = 976 \\ a^2 + 4h^2 = 2704 \end{cases}$

Вычтем первое уравнение из второго:

$(a^2 + 4h^2) - (a^2 + h^2) = 2704 - 976$

$3h^2 = 1728$

$h^2 = \frac{1728}{3} = 576$

$h = \sqrt{576} = 24$ см.

Подставим найденное значение $h^2$ в первое уравнение системы:

$a^2 + 576 = 976$

$a^2 = 976 - 576 = 400$

$a = \sqrt{400} = 20$ см.

Ответ: сторона основания призмы равна 20 см, боковое ребро равно 24 см.