Номер 236, страница 95 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

236. Докажите, что если точка $X$ равноудалена от концов данного отрезка $AB$, то он лежит в плоскости, проходящей через середину отрезка $AB$ и перпендикулярной прямой $AB$.

Пусть дан отрезок $AB$ и точка $X$, которая равноудалена от его концов, то есть выполняется равенство $XA = XB$. Обозначим через $M$ середину отрезка $AB$.

Рассмотрим треугольник $\triangle AXB$. Так как по условию его стороны $XA$ и $XB$ равны, то этот треугольник является равнобедренным с основанием $AB$.

Соединим точку $X$ с точкой $M$ отрезком $XM$. В треугольнике $\triangle AXB$ этот отрезок является медианой, так как он соединяет вершину $X$ с серединой $M$ противолежащей стороны $AB$.

По свойству равнобедренного треугольника, медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Следовательно, отрезок $XM$ перпендикулярен основанию $AB$, что записывается как $XM \perp AB$.

Теперь рассмотрим плоскость, которая проходит через середину отрезка $AB$ (точку $M$) и перпендикулярна прямой $AB$. Назовем эту плоскость $\alpha$. По определению, плоскость $\alpha$ является геометрическим местом точек, прямые из которых до точки $M$ перпендикулярны прямой $AB$.

Так как мы установили, что прямая $XM$ проходит через точку $M$ и перпендикулярна прямой $AB$, то прямая $XM$ целиком лежит в плоскости $\alpha$. А раз прямая $XM$ лежит в этой плоскости, то и любая ее точка, включая точку $X$, также лежит в этой плоскости.

Таким образом, мы доказали, что если точка $X$ равноудалена от концов отрезка $AB$, то она лежит в плоскости, проходящей через середину отрезка $AB$ и перпендикулярной прямой $AB$.

Ответ: Что и требовалось доказать.