Номер 317, страница 128 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

317. На одной грани двугранного угла выбрана точка X, отстоящая на 36 см от ребра угла и на 24 см от другой его грани. На второй грани этого угла выбрана точка Y, отстоящая от первой грани на 18 см. Найдите расстояние от точки Y до ребра угла.

Пусть данный двугранный угол образован полуплоскостями (гранями) $\alpha$ и $\beta$, которые пересекаются по прямой (ребру) $a$. Пусть величина линейного угла этого двугранного угла равна $\varphi$.

По условию, на одной грани (назовем ее $\alpha$) выбрана точка $X$. Расстояние от точки $X$ до ребра $a$ — это длина перпендикуляра $XA$, опущенного из точки $X$ на прямую $a$ (где точка $A$ лежит на ребре $a$). По условию, $XA = 36$ см. Расстояние от точки $X$ до другой грани $\beta$ — это длина перпендикуляра $XB$, опущенного из точки $X$ на плоскость $\beta$ (где точка $B$ лежит в плоскости $\beta$). По условию, $XB = 24$ см.

Рассмотрим конструкцию, связывающую эти расстояния. Прямая $XA$ является наклонной к плоскости $\beta$, $XB$ — перпендикуляр к этой плоскости, а отрезок $AB$ — проекция наклонной $XA$ на плоскость $\beta$. Поскольку $XA \perp a$ по определению расстояния от точки до прямой, то по теореме о трех перпендикулярах, ее проекция $AB$ также перпендикулярна ребру $a$ (т.е. $AB \perp a$).

Так как $XA \perp a$ и $AB \perp a$, то угол $\angle XAB$ между отрезками $XA$ и $AB$ является линейным углом двугранного угла. Следовательно, $\angle XAB = \varphi$.

Треугольник $\triangle XAB$ является прямоугольным, поскольку $XB$ — перпендикуляр к плоскости $\beta$, а значит, и к любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе к прямой $AB$. Таким образом, $\angle XBA = 90^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle XAB$ катет $XB$ является противолежащим углу $\varphi$, а $XA$ — гипотенузой. Мы можем найти синус линейного угла $\varphi$: $$ \sin\varphi = \frac{XB}{XA} = \frac{24}{36} = \frac{2}{3} $$

Теперь рассмотрим точку $Y$, которая, по условию, лежит на второй грани $\beta$. Расстояние от точки $Y$ до первой грани $\alpha$ равно 18 см. Обозначим это расстояние $YD = 18$ см, где $YD \perp \alpha$. Нам нужно найти расстояние от точки $Y$ до ребра $a$. Обозначим это искомое расстояние $YC$, где $YC \perp a$.

Проведем аналогичные рассуждения для точки $Y$. В этом случае $YC$ — наклонная к плоскости $\alpha$, $YD$ — перпендикуляр, а $CD$ — проекция наклонной на плоскость $\alpha$. По теореме о трех перпендикулярах, из $YC \perp a$ следует, что $CD \perp a$. Следовательно, угол $\angle YCD$ также является линейным углом нашего двугранного угла, то есть $\angle YCD = \varphi$. Треугольник $\triangle YCD$ — прямоугольный ($\angle YDC = 90^\circ$).

В прямоугольном треугольнике $\triangle YCD$ катет $YD$ противолежит углу $\varphi$, а $YC$ является гипотенузой. Таким образом: $$ \sin\varphi = \frac{YD}{YC} $$

Мы уже установили, что $\sin\varphi = \frac{2}{3}$. Подставим известные значения в формулу для точки $Y$: $$ \frac{2}{3} = \frac{18}{YC} $$

Отсюда выразим искомое расстояние $YC$: $$ YC = \frac{18}{\frac{2}{3}} = 18 \cdot \frac{3}{2} = 27 \text{ см} $$

Ответ: 27 см.