Номер 321, страница 128 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

321. Найдите расстояние от вершины прямого угла прямоугольного треугольника с катетами, равными 7 см и 24 см, до плоскости, которая проходит через гипотенузу и составляет с плоскостью треугольника угол в $30^\circ$.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом в вершине $C$. Катеты треугольника равны $AC = 7$ см и $BC = 24$ см. Пусть $\beta$ — это плоскость, которая проходит через гипотенузу $AB$ и составляет с плоскостью треугольника $ABC$ угол $30^\circ$. Необходимо найти расстояние от вершины $C$ до плоскости $\beta$, то есть длину перпендикуляра, опущенного из точки $C$ на плоскость $\beta$.

1. Найдем длину гипотенузы $AB$.
Используем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника $ABC$:$AB^2 = AC^2 + BC^2$$AB^2 = 7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625$$AB = \sqrt{625} = 25$ см.

2. Найдем высоту $CH$, проведенную из вершины прямого угла к гипотенузе.
Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить двумя способами: через катеты и через гипотенузу и высоту к ней.$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 24 = 84$ см$^2$.$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH$. Приравнивая правые части, получаем:$AC \cdot BC = AB \cdot CH$$CH = \frac{AC \cdot BC}{AB} = \frac{7 \cdot 24}{25} = \frac{168}{25}$ см.

3. Найдем искомое расстояние.
Пусть $CK$ — перпендикуляр, опущенный из точки $C$ на плоскость $\beta$. Длина $CK$ — это искомое расстояние. Высота $CH$ перпендикулярна гипотенузе $AB$, которая является линией пересечения плоскости треугольника и плоскости $\beta$. По определению линейного угла двугранного угла, угол между плоскостями — это угол между двумя перпендикулярами, проведенными к линии их пересечения в одной точке. Проведем $KH$ в плоскости $\beta$. По теореме о трех перпендикулярах, так как наклонная $CH$ перпендикулярна $AB$, то и ее проекция $KH$ на плоскость $\beta$ также перпендикулярна $AB$. Следовательно, угол $\angle CHK$ является линейным углом двугранного угла, и по условию $\angle CHK = 30^\circ$. Рассмотрим треугольник $CKH$. Он прямоугольный, так как $CK$ перпендикулярно плоскости $\beta$, а значит, и прямой $KH$, лежащей в этой плоскости ($\angle CKH = 90^\circ$). В прямоугольном треугольнике $CKH$ катет $CK$ лежит против угла в $30^\circ$:$CK = CH \cdot \sin(\angle CHK)$Подставляем известные значения:$CK = \frac{168}{25} \cdot \sin(30^\circ)$Так как $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, то:$CK = \frac{168}{25} \cdot \frac{1}{2} = \frac{84}{25} = 3,36$ см.

Ответ: $3,36$ см.