Номер 326, страница 129 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

326*. Проекцией прямоугольника $ABCD$ на плоскость $\omega$ является квадрат $ABC_1D_1$. Найдите угол между плоскостью $\omega$ и плоскостью прямоугольника $ABCD$, учитывая, что $AB : BC = 1 : 2$.

Пусть $\alpha$ — искомый угол между плоскостью прямоугольника $ABCD$ и плоскостью проекции $\omega$. Угол между плоскостью многоугольника и плоскостью его ортогональной проекции можно найти, используя соотношение их площадей.

Формула, связывающая площадь исходной фигуры $S$ и площадь ее проекции $S_{пр}$, выглядит следующим образом: $S_{пр} = S \cdot \cos(\alpha)$

Определим площади обеих фигур. Пусть, согласно условию $AB : BC = 1 : 2$, длина стороны $AB$ прямоугольника $ABCD$ равна $x$. Тогда длина стороны $BC$ будет равна $2x$.

Площадь прямоугольника $ABCD$ вычисляется как произведение его смежных сторон: $S_{ABCD} = AB \cdot BC = x \cdot 2x = 2x^2$.

Проекцией прямоугольника $ABCD$ на плоскость $\omega$ является квадрат $ABC_{1}D_{1}$. Поскольку точки $A$ и $B$ при проекции не изменили своего положения (так как они общие для обеих фигур), сторона $AB$ квадрата $ABC_{1}D_{1}$ совпадает со стороной $AB$ прямоугольника и равна $x$. Таким образом, все стороны квадрата равны $x$.

Площадь квадрата $ABC_{1}D_{1}$ равна: $S_{ABC_{1}D_{1}} = AB^2 = x^2$.

Теперь подставим найденные значения площадей в формулу для площади проекции: $S_{ABC_{1}D_{1}} = S_{ABCD} \cdot \cos(\alpha)$ $x^2 = 2x^2 \cdot \cos(\alpha)$

Для нахождения $\cos(\alpha)$ разделим обе части уравнения на $2x^2$ (поскольку $x$ — это длина стороны, $x \neq 0$): $\cos(\alpha) = \frac{x^2}{2x^2} = \frac{1}{2}$

Угол между плоскостями $\alpha$ должен быть острым ($0^\circ \le \alpha \le 90^\circ$). Найдем угол, косинус которого равен $\frac{1}{2}$: $\alpha = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.