Номер 332, страница 129 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

332. Сторона $IJ$ треугольника $IJK$, у которого $IJ = JK = 9$ см, $IK = 12$ см, лежит в плоскости $\rho$, а проекции двух других сторон треугольника на эту плоскость относятся как $1 : 2$. Определите величину двугранного угла, образованного плоскостями $\rho$ и $IJK$.

Пусть $\pi$ - плоскость треугольника $IJK$, а $\rho$ - заданная плоскость. Сторона $IJ$ треугольника лежит в плоскости $\rho$, следовательно, прямая $IJ$ является линией пересечения плоскостей $\pi$ и $\rho$.

Искомый двугранный угол - это угол между плоскостями $\pi$ и $\rho$. Для его нахождения построим линейный угол. Опустим из вершины $K$ перпендикуляр $KM$ на сторону $IJ$. Таким образом, $KM \perp IJ$.

Пусть $K'$ - ортогональная проекция точки $K$ на плоскость $\rho$. Тогда отрезок $KK'$ является перпендикуляром к плоскости $\rho$, а его длина $h = KK'$ - расстояние от точки $K$ до плоскости $\rho$. Так как $KK' \perp \rho$, а прямая $IJ$ лежит в плоскости $\rho$, то $KK' \perp IJ$.

По теореме о трех перпендикулярах, поскольку наклонная $KM$ перпендикулярна прямой $IJ$ в плоскости $\rho$, то и ее проекция $K'M$ на эту плоскость также перпендикулярна прямой $IJ$ ($K'M \perp IJ$).

Следовательно, угол $\angle KMK'$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $\pi$ и $\rho$. Обозначим этот угол $\phi$. Треугольник $\triangle KMK'$ является прямоугольным ($\angle KK'M = 90^\circ$), и для нахождения угла $\phi$ мы можем использовать соотношение $\sin \phi = \frac{KK'}{KM}$.

1. Найдем длину высоты $KM$ в треугольнике $IJK$.

Треугольник $IJK$ имеет стороны $IJ = 9$ см, $JK = 9$ см, $IK = 12$ см. Это равнобедренный треугольник с основанием $IK$. Высота $KM$ проведена к боковой стороне $IJ$. Найдем площадь треугольника $S_{IJK}$ по формуле Герона. Полупериметр $p$:$p = \frac{IJ + JK + IK}{2} = \frac{9 + 9 + 12}{2} = \frac{30}{2} = 15$ см.

Площадь треугольника:$S = \sqrt{p(p-IJ)(p-JK)(p-IK)} = \sqrt{15(15-9)(15-9)(15-12)} = \sqrt{15 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 3} = \sqrt{(3 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 3) \cdot 3} = \sqrt{3^4 \cdot 2^2 \cdot 5} = 3^2 \cdot 2 \cdot \sqrt{5} = 18\sqrt{5}$ см$^2$.

Площадь также можно выразить через высоту $KM$ и основание $IJ$:$S = \frac{1}{2} \cdot IJ \cdot KM$.$18\sqrt{5} = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot KM$. Отсюда находим $KM$:$KM = \frac{2 \cdot 18\sqrt{5}}{9} = 4\sqrt{5}$ см.

2. Найдем расстояние $h = KK'$ от вершины $K$ до плоскости $\rho$.

Проекциями сторон $IK$ и $JK$ на плоскость $\rho$ являются отрезки $IK'$ и $JK'$. Из прямоугольных треугольников $\triangle IKK'$ и $\triangle JKK'$ по теореме Пифагора имеем:$IK'^2 = IK^2 - KK'^2 = 12^2 - h^2 = 144 - h^2$.$JK'^2 = JK^2 - KK'^2 = 9^2 - h^2 = 81 - h^2$.

По условию, отношение длин проекций равно $1:2$. Так как $IK > JK$ ($12 > 9$), то и их проекции находятся в том же соотношении $IK' > JK'$. Следовательно, $\frac{JK'}{IK'} = \frac{1}{2}$, откуда $IK' = 2 \cdot JK'$.

Возведя в квадрат, получим $IK'^2 = 4 \cdot JK'^2$. Подставим выражения для квадратов проекций:$144 - h^2 = 4(81 - h^2)$$144 - h^2 = 324 - 4h^2$$3h^2 = 324 - 144$$3h^2 = 180$$h^2 = 60$$h = \sqrt{60} = \sqrt{4 \cdot 15} = 2\sqrt{15}$ см.

Таким образом, расстояние от точки $K$ до плоскости $\rho$ равно $KK' = 2\sqrt{15}$ см.

3. Определим величину двугранного угла $\phi$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle KMK'$. Мы знаем длину гипотенузы $KM = 4\sqrt{5}$ см и катета $KK' = 2\sqrt{15}$ см. Найдем синус угла $\phi = \angle KMK'$:$\sin \phi = \frac{KK'}{KM} = \frac{2\sqrt{15}}{4\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{15}}{2\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{3 \cdot 5}}{2\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{5}}{2\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Угол, синус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$, составляет $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.