Номер 339, страница 130 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

339*. В четырёхугольной пирамиде все рёбра основания равны $a$, а все боковые рёбра — $b$. Найдите двугранные углы этой пирамиды.

Поскольку в четырёхугольной пирамиде все рёбра основания равны a, основанием является ромб. Так как все боковые рёбра равны b, вершина пирамиды проектируется в центр окружности, описанной около основания. Около ромба можно описать окружность только в том случае, если он является квадратом. Следовательно, данная пирамида — правильная четырёхугольная пирамида.

Пусть SABCD — правильная четырёхугольная пирамида с вершиной S. Основание ABCD — квадрат со стороной a. Боковые рёбра SA = SB = SC = SD = b. Пусть O — центр квадрата (точка пересечения диагоналей). Тогда SO — высота пирамиды, обозначим её h.

Диагональ квадрата AC равна $a\sqrt{2}$. Отрезок AO равен половине диагонали: $AO = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник SOA. По теореме Пифагора:$SO^2 = SA^2 - AO^2$$h^2 = b^2 - \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = b^2 - \frac{2a^2}{4} = b^2 - \frac{a^2}{2}$$h = \sqrt{b^2 - \frac{a^2}{2}}$(Для существования пирамиды необходимо, чтобы $b^2 > \frac{a^2}{2}$).

В этой пирамиде есть два типа двугранных углов: угол при ребре основания и угол при боковом ребре. Так как пирамида правильная, все углы каждого типа равны между собой.

1. Двугранный угол при ребре основания

Найдём двугранный угол между боковой гранью, например, SBC, и плоскостью основания ABCD. Этот угол измеряется линейным углом, построенным на общем ребре BC.

Проведём апофему SM в грани SBC, где M — середина ребра BC. Так как треугольник SBC равнобедренный (SB = SC = b), медиана SM является также и высотой, то есть $SM \perp BC$.

В плоскости основания проведём отрезок OM. Так как O — центр квадрата, а M — середина стороны BC, то $OM \perp BC$. Длина этого отрезка равна половине стороны квадрата: $OM = \frac{a}{2}$.

Таким образом, линейный угол двугранного угла при ребре BC — это угол $\angle SMO$. Обозначим его $\alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник SOM (угол $\angle SOM = 90^\circ$). Катеты SO = h и $OM = \frac{a}{2}$. Найдём косинус угла $\alpha$:$\cos \alpha = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{OM}{SM}$

Гипотенузу SM (апофему) найдём по теореме Пифагора в треугольнике SOM:$SM^2 = SO^2 + OM^2 = \left(b^2 - \frac{a^2}{2}\right) + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = b^2 - \frac{a^2}{2} + \frac{a^2}{4} = b^2 - \frac{a^2}{4}$$SM = \sqrt{b^2 - \frac{a^2}{4}} = \frac{\sqrt{4b^2 - a^2}}{2}$

Теперь найдём косинус угла $\alpha$:$\cos \alpha = \frac{OM}{SM} = \frac{a/2}{\frac{\sqrt{4b^2 - a^2}}{2}} = \frac{a}{\sqrt{4b^2 - a^2}}$

Следовательно, двугранный угол при ребре основания равен $\alpha = \arccos\left(\frac{a}{\sqrt{4b^2 - a^2}}\right)$.

Ответ: Двугранный угол при ребре основания равен $\arccos\left(\frac{a}{\sqrt{4b^2 - a^2}}\right)$.

2. Двугранный угол при боковом ребре

Найдём двугранный угол между смежными боковыми гранями, например, SAB и SBC. Этот угол измеряется линейным углом, построенным на общем ребре SB.

Для нахождения этого угла воспользуемся методом сферической тригонометрии, применив теорему косинусов для трёхгранного угла при вершине B. Угол при вершине B в основании — это $\angle ABC = 90^\circ$. Плоские углы граней, сходящихся в вершине B, — это $\angle SBA$ и $\angle SBC$.

Так как боковые грани — равные равнобедренные треугольники со сторонами b, b, a, то углы при их основаниях равны: $\angle SBA = \angle SBC$. Обозначим этот угол $\delta$.

Рассмотрим грань SAB. По теореме косинусов для угла $\angle ASB$ (обозначим его $\gamma$):$a^2 = b^2 + b^2 - 2b^2 \cos\gamma \implies \cos\gamma = \frac{2b^2 - a^2}{2b^2}$

Сумма углов в треугольнике SAB: $\gamma + 2\delta = 180^\circ$, откуда $\delta = 90^\circ - \frac{\gamma}{2}$. Тогда $\cos\delta = \cos\left(90^\circ - \frac{\gamma}{2}\right) = \sin\left(\frac{\gamma}{2}\right)$.

Используем формулу половинного угла: $\cos\gamma = 1 - 2\sin^2\left(\frac{\gamma}{2}\right)$.$\sin^2\left(\frac{\gamma}{2}\right) = \frac{1 - \cos\gamma}{2} = \frac{1 - \frac{2b^2 - a^2}{2b^2}}{2} = \frac{\frac{2b^2 - (2b^2 - a^2)}{2b^2}}{2} = \frac{a^2/2b^2}{2} = \frac{a^2}{4b^2}$

Следовательно, $\cos^2\delta = \sin^2\left(\frac{\gamma}{2}\right) = \frac{a^2}{4b^2}$.

Пусть $\beta$ — искомый двугранный угол при ребре SB. По теореме косинусов для трёхгранного угла с вершиной B:$\cos(\angle ABC) = \cos(\angle SBA)\cos(\angle SBC) + \sin(\angle SBA)\sin(\angle SBC)\cos\beta$$\cos(90^\circ) = \cos\delta \cdot \cos\delta + \sin\delta \cdot \sin\delta \cdot \cos\beta$$0 = \cos^2\delta + \sin^2\delta \cos\beta$

Отсюда выражаем $\cos\beta$:$\cos\beta = -\frac{\cos^2\delta}{\sin^2\delta} = -\cot^2\delta$

Найдём $\cot^2\delta$:$\sin^2\delta = 1 - \cos^2\delta = 1 - \frac{a^2}{4b^2} = \frac{4b^2 - a^2}{4b^2}$$\cot^2\delta = \frac{\cos^2\delta}{\sin^2\delta} = \frac{a^2/4b^2}{(4b^2 - a^2)/4b^2} = \frac{a^2}{4b^2 - a^2}$

Подставляем значение в формулу для $\cos\beta$:$\cos\beta = -\frac{a^2}{4b^2 - a^2}$

Следовательно, двугранный угол при боковом ребре равен $\beta = \arccos\left(-\frac{a^2}{4b^2 - a^2}\right)$.

Ответ: Двугранный угол при боковом ребре равен $\arccos\left(-\frac{a^2}{4b^2 - a^2}\right)$.