Номер 336, страница 130 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

336*. В треугольной пирамиде все рёбра равны. Найдите двугранные углы этой пирамиды.

Треугольная пирамида, у которой все рёбра равны, называется правильным тетраэдром. Все грани такого тетраэдра — это равные между собой равносторонние треугольники. В силу симметрии все двугранные углы правильного тетраэдра также равны между собой. Найдем один из этих углов.

Пусть дана треугольная пирамида D-ABC, где все ребра равны $a$. Это правильный тетраэдр.

Двугранный угол между двумя гранями — это угол между перпендикулярами, проведенными к их общему ребру в одной точке.

Рассмотрим двугранный угол при ребре основания BC, то есть угол между плоскостью основания (ABC) и боковой гранью (DBC).

1. Проведем в грани (DBC) высоту DM к ребру BC. Так как треугольник DBC равносторонний, DM является также медианой и биссектрисой. Точка M — середина ребра BC.

2. Проведем в грани (ABC) высоту AM к ребру BC. Так как треугольник ABC равносторонний, AM также является медианой. Точка M — та же самая середина ребра BC.

3. Угол $\angle AMD$ — это линейный угол двугранного угла между гранями (ABC) и (DBC). Наша задача — найти величину этого угла.

Для этого рассмотрим треугольник AMD. Найдем длины его сторон:

• Сторона AD является ребром тетраэдра, поэтому ее длина равна $a$.
• Стороны AM и DM являются высотами в равносторонних треугольниках ABC и DBC со стороной $a$. Длина высоты равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Следовательно, $AM = DM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Теперь у нас есть треугольник AMD со сторонами $AD=a$, $AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ и $DM=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Этот треугольник равнобедренный.

Применим к треугольнику AMD теорему косинусов, чтобы найти косинус угла $\angle AMD$, который мы ищем. Обозначим этот угол как $\alpha$.

$AD^2 = AM^2 + DM^2 - 2 \cdot AM \cdot DM \cdot \cos(\alpha)$

Подставим известные значения длин сторон:

$a^2 = \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 - 2 \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \cos(\alpha)$

Упростим выражение:

$a^2 = \frac{3a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} - 2 \cdot \frac{3a^2}{4} \cdot \cos(\alpha)$

$a^2 = \frac{6a^2}{4} - \frac{6a^2}{4} \cdot \cos(\alpha)$

$a^2 = \frac{3a^2}{2} - \frac{3a^2}{2} \cdot \cos(\alpha)$

Разделим обе части уравнения на $a^2$ (поскольку $a \ne 0$):

$1 = \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \cdot \cos(\alpha)$

Выразим $\cos(\alpha)$:

$\frac{3}{2} \cos(\alpha) = \frac{3}{2} - 1$

$\frac{3}{2} \cos(\alpha) = \frac{1}{2}$

$\cos(\alpha) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$

Таким образом, двугранный угол пирамиды равен $\arccos\left(\frac{1}{3}\right)$.

Ответ: $\arccos\left(\frac{1}{3}\right)$.