Номер 334, страница 130 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

334*. Правильные треугольники $ABC$ и $DBC$ расположены так, что вершина $D$ проектируется в центр треугольника $ABC$. Найдите угол между плоскостями этих треугольников.

Пусть сторона правильных треугольников $ABC$ и $DBC$ равна $a$. Плоскости этих треугольников $(ABC)$ и $(DBC)$ пересекаются по их общей стороне $BC$. Угол между двумя плоскостями (двугранный угол) измеряется величиной его линейного угла. Линейный угол строится путем проведения двух перпендикуляров к линии пересечения плоскостей, проведенных в одной точке, по одному в каждой плоскости.

Построим линейный угол для двугранного угла между плоскостями $(ABC)$ и $(DBC)$. Пусть $M$ — середина общего ребра $BC$. В правильном треугольнике $ABC$ медиана $AM$ также является высотой. Следовательно, $AM \perp BC$. Длина высоты в правильном треугольнике со стороной $a$ вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$, поэтому $AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Аналогично, в правильном треугольнике $DBC$ медиана $DM$ также является высотой. Следовательно, $DM \perp BC$. Длина высоты $DM$ также равна $DM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Поскольку отрезки $AM$ и $DM$ перпендикулярны общей прямой $BC$ и пересекаются в точке $M$, угол $\angle AMD$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $(ABC)$ и $(DBC)$. Нам нужно найти величину этого угла. Обозначим его $\phi$.

По условию, вершина $D$ проектируется в центр $O$ треугольника $ABC$. Это означает, что перпендикуляр, опущенный из точки $D$ на плоскость $(ABC)$, попадает в точку $O$. Таким образом, отрезок $DO$ перпендикулярен плоскости $(ABC)$.

Центр $O$ правильного треугольника $ABC$ является точкой пересечения его медиан, высот и биссектрис. Эта точка делит медианы в отношении 2:1, считая от вершины. Точка $O$ лежит на медиане $AM$. Следовательно, $OM = \frac{1}{3} AM$. Подставим известное значение длины $AM$: $OM = \frac{1}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.

Так как $DO \perp (ABC)$, то отрезок $DO$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости. В частности, $DO \perp AM$. Это означает, что треугольник $DOM$ является прямоугольным с прямым углом $\angle DOM$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $DOM$. Мы ищем угол $\phi = \angle DMO$. В этом треугольнике нам известны:

• Гипотенуза $DM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$
• Катет $OM = \frac{a\sqrt{3}}{6}$

Косинус угла $\phi$ равен отношению прилежащего катета к гипотенузе: $\cos \phi = \frac{OM}{DM}$.

Подставим найденные значения длин: $\cos \phi = \frac{\frac{a\sqrt{3}}{6}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}} = \frac{a\sqrt{3}}{6} \cdot \frac{2}{a\sqrt{3}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Отсюда находим искомый угол: $\phi = \arccos\left(\frac{1}{3}\right)$.

Ответ: $\arccos\left(\frac{1}{3}\right)$.