Номер 341, страница 130 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

341. Верно ли утверждение, что плоскость линейного угла двугранного угла перпендикулярна каждой его грани?

341.

Да, это утверждение верно. Приведем строгое доказательство.

Пусть дан двугранный угол, образованный двумя полуплоскостями (гранями) $\alpha$ и $\beta$, которые пересекаются по прямой (ребру) $c$.

Для построения линейного угла данного двугранного угла выберем на ребре $c$ произвольную точку $O$. В плоскости $\alpha$ проведем луч $OA$ перпендикулярно ребру $c$. В плоскости $\beta$ проведем луч $OB$ также перпендикулярно ребру $c$. Угол $\angle AOB$ является линейным углом данного двугранного угла. Плоскость, в которой лежат лучи $OA$ и $OB$, назовем плоскостью $\gamma$.

Нам необходимо доказать, что плоскость $\gamma$ перпендикулярна каждой из граней $\alpha$ и $\beta$, то есть $\gamma \perp \alpha$ и $\gamma \perp \beta$.

Рассмотрим ребро $c$ и плоскость $\gamma$. По построению мы имеем:

• $c \perp OA$ (так как луч $OA$ лежит в грани $\alpha$ и проведен перпендикулярно ребру $c$).
• $c \perp OB$ (так как луч $OB$ лежит в грани $\beta$ и проведен перпендикулярно ребру $c$).

Прямые $OA$ и $OB$ лежат в плоскости $\gamma$ и пересекаются в точке $O$. Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна самой плоскости. Следовательно, ребро $c$ перпендикулярно плоскости линейного угла $\gamma$ ($c \perp \gamma$).

Теперь воспользуемся признаком перпендикулярности двух плоскостей: если одна плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

1. Плоскость грани $\alpha$ проходит через прямую $c$. Поскольку $c \perp \gamma$, то по указанному признаку плоскость $\alpha$ перпендикулярна плоскости $\gamma$ ($\alpha \perp \gamma$).
2. Плоскость грани $\beta$ также проходит через прямую $c$. Поскольку $c \perp \gamma$, то и плоскость $\beta$ перпендикулярна плоскости $\gamma$ ($\beta \perp \gamma$).

Таким образом, мы доказали, что плоскость линейного угла двугранного угла перпендикулярна каждой его грани.

Ответ: Да, утверждение верно.