Номер 338, страница 130 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

338*. В четырёхугольной пирамиде все рёбра равны. Найдите двугранные углы этой пирамиды.

Пусть дана четырёхугольная пирамида $SABCD$, в которой все рёбра равны. Обозначим длину ребра через $a$.

Поскольку все рёбра основания $ABCD$ равны ($AB=BC=CD=DA=a$), основание является ромбом. Поскольку все боковые рёбра ($SA=SB=SC=SD=a$) равны, пирамида является правильной, то есть её вершина $S$ проецируется в центр основания $O$ (точку пересечения диагоналей). Из равенства прямоугольных треугольников $SOA$ и $SOB$ (по общему катету $SO$ и гипотенузам $SA=SB=a$) следует равенство катетов $OA=OB$. Так как диагонали ромба делятся точкой пересечения пополам, то $AC=2 \cdot OA$ и $BD=2 \cdot OB$. Из $OA=OB$ следует, что диагонали ромба равны ($AC=BD$). Ромб с равными диагоналями является квадратом. Следовательно, основание $ABCD$ — это квадрат со стороной $a$.

Боковые грани пирамиды (например, $SAB$) являются равносторонними треугольниками со стороной $a$, так как все их стороны равны $a$.

В такой пирамиде есть два вида двугранных углов: угол при ребре основания (между боковой гранью и плоскостью основания) и угол при боковом ребре (между двумя смежными боковыми гранями). Из-за симметрии пирамиды все углы одного вида равны между собой.

Двугранный угол при ребре основания

Найдём величину двугранного угла при ребре $BC$, то есть угла между плоскостью боковой грани $SBC$ и плоскостью основания $ABCD$. Этот угол измеряется линейным углом, построенным на линии их пересечения $BC$.

Проведём апофему $SM$ в грани $SBC$. Так как треугольник $SBC$ равносторонний, то его медиана $SM$ (где $M$ — середина $BC$) является и его высотой, то есть $SM \perp BC$. Длина апофемы $SM$ как высоты равностороннего треугольника со стороной $a$ равна $SM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

В плоскости основания проведём отрезок $OM$, где $O$ — центр квадрата. Так как $OM$ соединяет центр квадрата с серединой стороны $BC$, то $OM \perp BC$. Длина $OM$ равна половине стороны квадрата: $OM = \frac{AB}{2} = \frac{a}{2}$.

Поскольку $SM \perp BC$ и $OM \perp BC$, то угол $\angle SMO$ является линейным углом искомого двугранного угла. Рассмотрим треугольник $SOM$. Он прямоугольный, так как $SO$ — высота пирамиды, и следовательно, перпендикулярна любой прямой в плоскости основания, в том числе и $OM$ ($SO \perp OM$).

Найдём косинус угла $\angle SMO$ из прямоугольного треугольника $SOM$:

$ \cos(\angle SMO) = \frac{OM}{SM} = \frac{a/2}{a\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} $

Следовательно, двугранный угол при ребре основания равен $ \arccos(\frac{\sqrt{3}}{3}) $.

Ответ: $ \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) $.

Двугранный угол при боковом ребре

Найдём величину двугранного угла при боковом ребре $SB$, то есть угла между плоскостями смежных боковых граней $SAB$ и $SBC$. Линия их пересечения — ребро $SB$.

Для измерения этого угла построим его линейный угол. В равностороннем треугольнике $SAB$ проведём высоту $AH$ к стороне $SB$. Таким образом, $AH \perp SB$.

Грани $SAB$ и $SBC$ — равные равносторонние треугольники. Поэтому высота $CH$ в треугольнике $SBC$, проведённая к стороне $SB$, попадёт в ту же точку $H$, и её длина будет равна длине $AH$. То есть $CH \perp SB$ и $CH = AH$.

Длина высоты $AH$ в равностороннем треугольнике со стороной $a$ равна $AH = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Угол $\angle AHC$ является линейным углом искомого двугранного угла. Рассмотрим треугольник $AHC$. Он равнобедренный, так как $AH = CH = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Основание $AC$ этого треугольника является диагональю квадрата $ABCD$, поэтому его длина равна $AC = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.

Для нахождения угла $\angle AHC$ применим к треугольнику $AHC$ теорему косинусов:

$ AC^2 = AH^2 + CH^2 - 2 \cdot AH \cdot CH \cdot \cos(\angle AHC) $

$ (a\sqrt{2})^2 = \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 - 2 \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \cos(\angle AHC) $

$ 2a^2 = \frac{3a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} - 2 \cdot \frac{3a^2}{4} \cdot \cos(\angle AHC) $

$ 2a^2 = \frac{3a^2}{2} - \frac{3a^2}{2} \cdot \cos(\angle AHC) $

Разделим обе части уравнения на $a^2$ (при $a \neq 0$):

$ 2 = \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \cos(\angle AHC) $

$ 4 = 3 - 3 \cos(\angle AHC) $

$ 1 = -3 \cos(\angle AHC) $

$ \cos(\angle AHC) = -\frac{1}{3} $

Следовательно, двугранный угол при боковом ребре равен $ \arccos(-\frac{1}{3}) $.

Ответ: $ \arccos\left(-\frac{1}{3}\right) $.