Номер 327, страница 129 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

327*. Параллельные прямые $AB$ и $CD$ лежат в разных гранях двугранного угла, равного $60^\circ$, а их точки $A$ и $D$ отстоят от ребра этого угла соответственно на 16 см и 13 см. Найдите расстояние между прямыми $AB$ и $CD$.

Обозначим грани двугранного угла как $\alpha$ и $\beta$, а ребро двугранного угла — прямой $m$. По условию, прямая $AB$ лежит в грани $\alpha$, а прямая $CD$ — в грани $\beta$.

1. Анализ расположения прямых.

Поскольку прямые $AB$ и $CD$ параллельны и лежат в разных гранях двугранного угла, которые пересекаются по прямой $m$, то обе эти прямые параллельны ребру $m$. То есть, $AB \parallel m$ и $CD \parallel m$.

2. Построение для нахождения расстояния.

Расстояние между двумя параллельными прямыми — это длина их общего перпендикуляра. Чтобы найти это расстояние, рассмотрим плоскость $\gamma$, перпендикулярную ребру $m$ (а следовательно, и прямым $AB$ и $CD$).

Пусть эта плоскость $\gamma$ пересекает ребро $m$ в точке $O$. Плоскость $\gamma$ пересечет прямую $AB$ в некоторой точке $M$ и прямую $CD$ в некоторой точке $N$.

Поскольку плоскость $\gamma$ перпендикулярна $AB$ и $CD$, отрезок $MN$ является общим перпендикуляром к этим прямым, и его длина $MN$ — искомое расстояние.

3. Работа в плоскости $\gamma$.

Рассмотрим сечение, образованное плоскостью $\gamma$.

В этой плоскости мы имеем точку $O$ (проекция ребра $m$), точку $M$ (проекция прямой $AB$) и точку $N$ (проекция прямой $CD$).

Расстояние от точки $A$ до ребра $m$ равно 16 см. Так как $AB \parallel m$, то расстояние от любой точки прямой $AB$ до ребра $m$ одинаково и равно 16 см. В нашей плоскости сечения это расстояние представлено отрезком $OM$. Таким образом, $OM = 16$ см.

Аналогично, расстояние от точки $D$ до ребра $m$ равно 13 см. Так как $CD \parallel m$, расстояние от любой точки прямой $CD$ до ребра $m$ равно 13 см. В плоскости сечения это расстояние представлено отрезком $ON$. Таким образом, $ON = 13$ см.

Угол между отрезками $OM$ и $ON$ в плоскости $\gamma$ является линейным углом двугранного угла, и по условию он равен $60^{\circ}$. То есть, $\angle MON = 60^{\circ}$.

4. Вычисление расстояния.

Теперь задача сводится к нахождению длины стороны $MN$ в треугольнике $MON$, у которого известны две стороны ($OM=16$, $ON=13$) и угол между ними ($\angle MON = 60^{\circ}$).

Применим теорему косинусов для треугольника $MON$: $MN^2 = OM^2 + ON^2 - 2 \cdot OM \cdot ON \cdot \cos(\angle MON)$

Подставим известные значения: $MN^2 = 16^2 + 13^2 - 2 \cdot 16 \cdot 13 \cdot \cos(60^{\circ})$

Зная, что $\cos(60^{\circ}) = \frac{1}{2}$, получаем: $MN^2 = 256 + 169 - 2 \cdot 16 \cdot 13 \cdot \frac{1}{2}$ $MN^2 = 425 - 16 \cdot 13$ $MN^2 = 425 - 208$ $MN^2 = 217$

Следовательно, искомое расстояние равно: $MN = \sqrt{217}$

Ответ: $\sqrt{217}$ см.