Номер 320, страница 128 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

320. Большой катет прямоугольного треугольника с острым углом и гипотенузой, соответственно равными $30^\circ$ и $c$, лежит в плоскости $\gamma$, составляющей с плоскостью треугольника угол в $60^\circ$. Найдите:

а) расстояние от вершины большего острого угла треугольника до плоскости $\gamma$;

б) угол между гипотенузой и плоскостью $\gamma$.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$ ($\angle C = 90^\circ$). Гипотенуза $AB = c$. Один из острых углов равен $30^\circ$. Пусть $\angle A = 30^\circ$. Тогда второй острый угол $\angle B = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

Найдем длины катетов треугольника:

• Катет $BC$, противолежащий углу $A=30^\circ$: $BC = AB \cdot \sin(30^\circ) = c \cdot \frac{1}{2} = \frac{c}{2}$.
• Катет $AC$, противолежащий углу $B=60^\circ$: $AC = AB \cdot \sin(60^\circ) = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Поскольку $\frac{\sqrt{3}}{2} > \frac{1}{2}$, катет $AC$ является большим катетом. По условию, больший катет лежит в плоскости $\gamma$, следовательно, прямая $AC$ лежит в плоскости $\gamma$.

Угол между плоскостью треугольника $ABC$ и плоскостью $\gamma$ равен $60^\circ$. Так как их линия пересечения - это прямая $AC$, то двугранный угол между плоскостями равен $60^\circ$.

Больший острый угол треугольника — это $\angle B = 60^\circ$. Следовательно, нам нужно найти расстояние от вершины $B$ до плоскости $\gamma$.

Опустим перпендикуляр $BH$ из точки $B$ на плоскость $\gamma$. Длина отрезка $BH$ и есть искомое расстояние.

Поскольку $BH \perp \gamma$, то $BH$ перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, в том числе и прямой $AC$.

В треугольнике $ABC$ катет $BC$ перпендикулярен катету $AC$ ($BC \perp AC$).

Таким образом, у нас есть наклонная $BC$ к плоскости $\gamma$, ее проекция $HC$ на эту плоскость и перпендикуляр $BH$. Угол $\angle BCH$ является линейным углом двугранного угла между плоскостью треугольника и плоскостью $\gamma$, так как $BC \perp AC$ и $HC \perp AC$ (по теореме о трех перпендикулярах). Следовательно, $\angle BCH = 60^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHC$ (где $\angle BHC = 90^\circ$). В нем гипотенуза $BC = \frac{c}{2}$ и угол $\angle BCH = 60^\circ$. Найдем катет $BH$:

$BH = BC \cdot \sin(\angle BCH) = \frac{c}{2} \cdot \sin(60^\circ) = \frac{c}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{c\sqrt{3}}{4}$.

Ответ: $ \frac{c\sqrt{3}}{4} $

Угол между гипотенузой $AB$ и плоскостью $\gamma$ — это угол между прямой $AB$ и ее проекцией на плоскость $\gamma$.

Так как точка $A$ лежит в плоскости $\gamma$ (поскольку $AC \subset \gamma$), а проекцией точки $B$ на плоскость $\gamma$ является точка $H$, то проекцией гипотенузы $AB$ на плоскость $\gamma$ является отрезок $AH$.

Искомый угол — это угол $\angle BAH$. Обозначим его $\phi$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ (где $\angle AHB = 90^\circ$, так как $BH \perp \gamma$). В нем гипотенуза $AB = c$ и катет $BH = \frac{c\sqrt{3}}{4}$ (найден в пункте а).

Синус угла $\phi$ равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:

$\sin(\phi) = \frac{BH}{AB} = \frac{\frac{c\sqrt{3}}{4}}{c} = \frac{\sqrt{3}}{4}$.

Следовательно, искомый угол $\phi = \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right)$.

Ответ: $ \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right) $