Номер 325, страница 129 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

325. Найдите двугранный угол $ABCD$ треугольной пирамиды $ABCD$, учитывая, что углы $DAB$, $DAC$ и $ACB$ прямые, $AC = CB = 5$ и $DB = 5\sqrt{5}$.

1. Проанализируем условие задачи. Нам дана треугольная пирамида $ABCD$. Из условия известно, что $\angle DAB = 90^\circ$ и $\angle DAC = 90^\circ$. Это означает, что ребро $DA$ перпендикулярно двум пересекающимся прямым $AB$ и $AC$, лежащим в плоскости $(ABC)$. Следовательно, ребро $DA$ перпендикулярно плоскости основания $(ABC)$, то есть $DA \perp (ABC)$.

2. Искомый двугранный угол $ABCD$ — это угол между плоскостями $(ABC)$ и $(BCD)$. Линия пересечения этих плоскостей — ребро $BC$. Для нахождения величины двугранного угла необходимо построить его линейный угол. Линейный угол — это угол между двумя перпендикулярами к ребру двугранного угла, проведенными в его гранях из одной точки на ребре.

3. Выберем в качестве такой точки вершину $C$. В плоскости основания $(ABC)$ по условию дан прямой угол $\angle ACB = 90^\circ$, следовательно, отрезок $AC$ перпендикулярен ребру $BC$ ($AC \perp BC$).

4. Применим теорему о трех перпендикулярах. Мы имеем перпендикуляр $DA$ к плоскости $(ABC)$, наклонную $DC$ к этой плоскости и ее проекцию $AC$. Так как проекция $AC$ перпендикулярна прямой $BC$, лежащей в плоскости, то и сама наклонная $DC$ перпендикулярна этой прямой $BC$. Таким образом, $DC \perp BC$, что означает $\angle DCB = 90^\circ$.

5. Мы установили, что $AC \perp BC$ и $DC \perp BC$. Значит, угол $\angle ACD$ является линейным углом искомого двугранного угла.

6. Найдем величину угла $\angle ACD$. Рассмотрим для этого треугольник $ACD$. Так как $\angle DAC = 90^\circ$ (по условию), этот треугольник является прямоугольным. Для вычисления угла $\angle ACD$ найдем длины его катетов $AC$ и $DA$.

7. Длина катета $AC$ нам известна из условия: $AC = 5$.

8. Длину катета $DA$ найдем, используя другие данные. Сначала рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ ($\angle ACB = 90^\circ$). По теореме Пифагора найдем его гипотенузу $AB$:
$AB^2 = AC^2 + CB^2 = 5^2 + 5^2 = 25 + 25 = 50$
$AB = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.

9. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $DAB$ ($\angle DAB = 90^\circ$). Нам известны гипотенуза $DB = 5\sqrt{5}$ и катет $AB = 5\sqrt{2}$. Найдем второй катет $DA$ по теореме Пифагора:
$DA^2 = DB^2 - AB^2 = (5\sqrt{5})^2 - (5\sqrt{2})^2 = 125 - 50 = 75$
$DA = \sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$.

10. Теперь у нас есть все данные для треугольника $ACD$. Это прямоугольный треугольник с катетами $AC = 5$ и $DA = 5\sqrt{3}$. Найдем тангенс угла $\angle ACD$, который является искомым углом:
$\tan(\angle ACD) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{DA}{AC} = \frac{5\sqrt{3}}{5} = \sqrt{3}$.

Угол, тангенс которого равен $\sqrt{3}$, это $60^\circ$. Таким образом, искомый двугранный угол равен $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.