Номер 3, страница 134 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

3. Есть треугольная пирамида $SABC$, все рёбра которой равны друг другу. На рёбрах $SC$, $SB$, $CB$ отмечены середины $U, V, Y$ соответственно, а на ребре $SA$ — произвольная точка $X$. Определите угол между прямыми $UV$ и $AY$.

Поскольку по условию задачи все рёбра треугольной пирамиды $SABC$ равны друг другу, данная пирамида является правильным тетраэдром. Это означает, что все её грани, включая основание $ABC$ и боковые грани (например, $SBC$), являются равносторонними треугольниками.

Рассмотрим треугольник $SBC$. По условию, точки $U$ и $V$ являются серединами рёбер $SC$ и $SB$ соответственно. Таким образом, отрезок $UV$ — это средняя линия треугольника $SBC$. Согласно свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне. Следовательно, прямая $UV$ параллельна прямой $CB$. $$ UV \parallel CB $$

Теперь рассмотрим основание пирамиды — треугольник $ABC$. Он является равносторонним. Точка $Y$ — середина стороны $CB$. Следовательно, отрезок $AY$ является медианой этого треугольника. В равностороннем треугольнике медиана, проведённая к стороне, также является и высотой. Таким образом, медиана $AY$ перпендикулярна стороне $CB$. $$ AY \perp CB $$

Угол между двумя скрещивающимися прямыми (в данном случае $UV$ и $AY$) — это угол между одной из прямых и прямой, параллельной второй и пересекающей первую. Так как мы установили, что $UV \parallel CB$, то искомый угол между прямыми $UV$ и $AY$ будет равен углу между прямыми $CB$ и $AY$.

Поскольку $AY \perp CB$, угол между ними равен $90^\circ$. Заметим, что положение точки $X$ на ребре $SA$ не влияет на взаимное расположение прямых $UV$ и $AY$, поэтому эта информация для решения задачи не требуется.

Ответ: $90^\circ$.