Номер 7, страница 134 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

7. Из вершины большего угла треугольника со сторонами 20 см, 34 см и 42 см возведён перпендикуляр к плоскости этого треугольника длиной 30 см.Найдите расстояние от его концов до большей стороны треугольника.

Пусть дан треугольник ABC со сторонами $a=20$ см, $b=34$ см и $c=42$ см. В треугольнике больший угол лежит против большей стороны. Следовательно, наибольший угол C лежит против наибольшей стороны $AB = c = 42$ см.

Из вершины C к плоскости треугольника ABC возведён перпендикуляр CD, длина которого составляет $CD = 30$ см.

Требуется найти расстояния от концов перпендикуляра, то есть от точек C и D, до большей стороны треугольника, то есть до стороны AB.

1. Найдём расстояние от точки C до стороны AB.

Расстояние от вершины треугольника до противолежащей стороны — это длина высоты, опущенной из этой вершины на эту сторону. Обозначим эту высоту как CH. Таким образом, нам нужно найти длину $CH$.

Для нахождения высоты треугольника с известными сторонами воспользуемся формулой площади. Сначала вычислим площадь треугольника ABC по формуле Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр.

Найдём полупериметр: $p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{20+34+42}{2} = \frac{96}{2} = 48$ см.

Теперь вычислим площадь: $S = \sqrt{48(48-20)(48-34)(48-42)} = \sqrt{48 \cdot 28 \cdot 14 \cdot 6} = \sqrt{(16 \cdot 3) \cdot (4 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 3)} = \sqrt{16 \cdot 9 \cdot 4 \cdot 49 \cdot 4} = \sqrt{16^2 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = 16 \cdot 3 \cdot 7 = 336$ см$^2$.

С другой стороны, площадь треугольника можно выразить через основание и высоту: $S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH$.

Отсюда найдём высоту CH: $CH = \frac{2S}{AB} = \frac{2 \cdot 336}{42} = \frac{672}{42} = 16$ см.

Итак, расстояние от одного конца перпендикуляра (точки C) до большей стороны AB равно 16 см.

2. Найдём расстояние от точки D до стороны AB.

У нас есть перпендикуляр CD к плоскости треугольника ABC и прямая AB, лежащая в этой плоскости. CH — это проекция наклонной DH на плоскость ABC. Так как высота $CH \perp AB$, то по теореме о трёх перпендикулярах наклонная $DH \perp AB$. Следовательно, длина отрезка DH и есть искомое расстояние от точки D до стороны AB.

Рассмотрим треугольник DCH. Поскольку CD перпендикулярен плоскости ABC, он перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку C, включая прямую CH. Значит, треугольник DCH является прямоугольным с прямым углом при вершине C.

По теореме Пифагора найдём гипотенузу DH: $DH^2 = CD^2 + CH^2$.

Подставим известные значения: $DH^2 = 30^2 + 16^2 = 900 + 256 = 1156$.

$DH = \sqrt{1156} = 34$ см.

Таким образом, расстояние от другого конца перпендикуляра (точки D) до большей стороны AB равно 34 см.

Ответ: 16 см и 34 см.