Номер 4, страница 138 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

4. Как найти точку пространства, которая в выбранной декартовой системе координат имеет координаты $(a; b; c)$?

Построение точки в пространстве по её декартовым координатам

Чтобы найти точку $M$ в трёхмерном пространстве, которая в выбранной декартовой системе координат имеет координаты $(a; b; c)$, необходимо выполнить следующую процедуру построения. Декартова система координат задаётся началом координат — точкой $O(0; 0; 0)$ — и тремя взаимно перпендикулярными осями: осью абсцисс $Ox$, осью ординат $Oy$ и осью аппликат $Oz$.

Числа $a, b, c$ в записи $M(a; b; c)$ являются координатами точки:

• $a$ — абсцисса, координата по оси $Ox$.
• $b$ — ордината, координата по оси $Oy$.
• $c$ — аппликата, координата по оси $Oz$.

Алгоритм нахождения точки $M$ следующий:

1. На оси абсцисс $Ox$ найти точку $A_x$ с координатой $a$. То есть отложить от начала координат $O$ расстояние, равное $|a|$, в положительном направлении оси $Ox$, если $a>0$, или в отрицательном, если $a<0$. Координаты этой точки будут $(a; 0; 0)$.
2. Аналогичным образом на оси ординат $Oy$ найти точку $A_y$ с координатой $b$. Её координаты — $(0; b; 0)$.
3. На оси аппликат $Oz$ найти точку $A_z$ с координатой $c$. Её координаты — $(0; 0; c)$.
4. Построить прямоугольный параллелепипед, три ребра которого, выходящие из начала координат $O$, — это отрезки $OA_x$, $OA_y$ и $OA_z$.
5. Искомая точка $M(a; b; c)$ будет вершиной этого параллелепипеда, противоположной началу координат $O$.

Практически это построение можно выполнить так:

1. В плоскости $Oxy$ (плоскость, содержащая оси $Ox$ и $Oy$) построить точку $P$ с координатами $(a; b; 0)$. Для этого из точки $A_x(a; 0; 0)$ провести прямую, параллельную оси $Oy$, а из точки $A_y(0; b; 0)$ — прямую, параллельную оси $Ox$. Точка $P$ — это точка пересечения этих прямых.
2. Из точки $P$ провести отрезок, параллельный оси $Oz$. Длина этого отрезка должна быть равна $|c|$. Если $c>0$, отрезок направлен в ту же сторону, что и ось $Oz$; если $c<0$ — в противоположную.
3. Конец этого отрезка и будет искомой точкой $M(a; b; c)$.

Этот процесс эквивалентен построению радиус-вектора точки $\vec{OM} = a\vec{i} + b\vec{j} + c\vec{k}$, где $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ — единичные векторы (орты) осей $Ox, Oy, Oz$ соответственно. Построение заключается в последовательном смещении из точки $O$ на вектор $a\vec{i}$, затем на вектор $b\vec{j}$, и, наконец, на вектор $c\vec{k}$.

Ответ: Чтобы найти точку пространства с координатами $(a; b; c)$, необходимо последовательно выполнить смещения от начала координат: на величину $a$ вдоль оси $Ox$, затем на величину $b$ в направлении, параллельном оси $Oy$, и затем на величину $c$ в направлении, параллельном оси $Oz$. Полученная точка и будет искомой. Геометрически эта точка является вершиной прямоугольного параллелепипеда, противолежащей началу координат, который построен на отрезках, отложенных от начала координат по осям $Ox, Oy, Oz$ на длины $|a|, |b|, |c|$ соответственно.