Номер 366, страница 139 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

366. Куб с ребром $a$ расположен так, что три его ребра находятся на осях координат. Найдите координаты его вершин, учитывая, что:

а) они все неотрицательны;

б) они все неположительны;

в) абсциссы и ординаты неотрицательны, а аппликаты неположительны;

г) абсциссы и ординаты неположительны, а аппликаты неотрицательны;

д) абсциссы и аппликаты неотрицательны, а ординаты неположительны;

е) абсциссы и аппликаты неположительны, а ординаты неотрицательны;

ж) ординаты и аппликаты неотрицательны, а абсциссы неположительны;

з) ординаты и аппликаты неположительны, а абсциссы неотрицательны.

По условию, куб с ребром $a$ расположен так, что три его ребра находятся на осях координат. Это означает, что одна из вершин куба совпадает с началом координат $O(0, 0, 0)$, а три ребра, выходящие из этой вершины, лежат на осях $Ox$, $Oy$ и $Oz$.

Вершины такого куба всегда будут иметь координаты, являющиеся комбинациями значений $0$, $a$ и $-a$. Всего у куба 8 вершин. В каждом конкретном случае знаки координат определяются условием расположения куба в том или ином октанте (части пространства, ограниченной координатными плоскостями).

а) Условие: все координаты неотрицательны. Это означает, что $x \ge 0$, $y \ge 0$, $z \ge 0$. Куб находится в первом октанте. Координаты его вершин образуются из чисел $0$ и $a$.
Вершины куба:
Одна вершина в начале координат: $(0, 0, 0)$.
Три вершины на осях координат: $(a, 0, 0)$, $(0, a, 0)$, $(0, 0, a)$.
Три вершины на координатных плоскостях: $(a, a, 0)$, $(a, 0, a)$, $(0, a, a)$.
Одна вершина, противоположная началу координат: $(a, a, a)$.
Ответ: $(0, 0, 0)$, $(a, 0, 0)$, $(0, a, 0)$, $(0, 0, a)$, $(a, a, 0)$, $(a, 0, a)$, $(0, a, a)$, $(a, a, a)$.

б) Условие: все координаты неположительны. Это означает, что $x \le 0$, $y \le 0$, $z \le 0$. Координаты его вершин образуются из чисел $0$ и $-a$.
Ответ: $(0, 0, 0)$, $(-a, 0, 0)$, $(0, -a, 0)$, $(0, 0, -a)$, $(-a, -a, 0)$, $(-a, 0, -a)$, $(0, -a, -a)$, $(-a, -a, -a)$.

в) Условие: абсциссы и ординаты неотрицательны ($x \ge 0, y \ge 0$), а аппликаты неположительны ($z \le 0$). Координаты вершин образуются из чисел $0$, $a$ (для $x$ и $y$) и $-a$ (для $z$).
Ответ: $(0, 0, 0)$, $(a, 0, 0)$, $(0, a, 0)$, $(0, 0, -a)$, $(a, a, 0)$, $(a, 0, -a)$, $(0, a, -a)$, $(a, a, -a)$.

г) Условие: абсциссы и ординаты неположительны ($x \le 0, y \le 0$), а аппликаты неотрицательны ($z \ge 0$). Координаты вершин образуются из чисел $0$, $-a$ (для $x$ и $y$) и $a$ (для $z$).
Ответ: $(0, 0, 0)$, $(-a, 0, 0)$, $(0, -a, 0)$, $(0, 0, a)$, $(-a, -a, 0)$, $(-a, 0, a)$, $(0, -a, a)$, $(-a, -a, a)$.

д) Условие: абсциссы и аппликаты неотрицательны ($x \ge 0, z \ge 0$), а ординаты неположительны ($y \le 0$). Координаты вершин образуются из чисел $0$, $a$ (для $x$ и $z$) и $-a$ (для $y$).
Ответ: $(0, 0, 0)$, $(a, 0, 0)$, $(0, -a, 0)$, $(0, 0, a)$, $(a, -a, 0)$, $(a, 0, a)$, $(0, -a, a)$, $(a, -a, a)$.

е) Условие: абсциссы и аппликаты неположительны ($x \le 0, z \le 0$), а ординаты неотрицательны ($y \ge 0$). Координаты вершин образуются из чисел $0$, $-a$ (для $x$ и $z$) и $a$ (для $y$).
Ответ: $(0, 0, 0)$, $(-a, 0, 0)$, $(0, a, 0)$, $(0, 0, -a)$, $(-a, a, 0)$, $(-a, 0, -a)$, $(0, a, -a)$, $(-a, a, -a)$.

ж) Условие: ординаты и аппликаты неотрицательны ($y \ge 0, z \ge 0$), а абсциссы неположительны ($x \le 0$). Координаты вершин образуются из чисел $0$, $a$ (для $y$ и $z$) и $-a$ (для $x$).
Ответ: $(0, 0, 0)$, $(-a, 0, 0)$, $(0, a, 0)$, $(0, 0, a)$, $(-a, a, 0)$, $(-a, 0, a)$, $(0, a, a)$, $(-a, a, a)$.

з) Условие: ординаты и аппликаты неположительны ($y \le 0, z \le 0$), а абсциссы неотрицательны ($x \ge 0$). Координаты вершин образуются из чисел $0$, $-a$ (для $y$ и $z$) и $a$ (для $x$).
Ответ: $(0, 0, 0)$, $(a, 0, 0)$, $(0, -a, 0)$, $(0, 0, -a)$, $(a, -a, 0)$, $(a, 0, -a)$, $(0, -a, -a)$, $(a, -a, -a)$.