Номер 373, страница 139 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

373. Определите, является ли квадратом четырёхугольник $ABCD$, если:

a) $A(4; 1; 3)$, $B(3; 2; 5)$, $C(6; 5; 5)$, $D(7; 4; 3)$;

б) $A(6; -1; 4)$, $B(5; 1; 5)$, $C(-2; -1; -2)$, $D(-1; -11; 7)$;

в) $A(-50; -1; 40)$, $B(-13; -11; -19)$, $C(54; -1; -38)$, $D(17; 9; 21)$.

Чтобы определить, является ли четырёхугольник ABCD квадратом, необходимо проверить, выполняются ли для него свойства квадрата. Квадрат — это четырёхугольник, у которого все стороны равны и все углы прямые. Для проверки в координатах можно использовать следующий алгоритм:

1. Вычислить квадраты длин всех четырех сторон ($AB^2, BC^2, CD^2, DA^2$) и убедиться, что они равны. Если они не равны, фигура не является квадратом. Если они равны, фигура является ромбом.
2. Если фигура является ромбом, необходимо проверить, являются ли его углы прямыми. Это можно сделать, проверив, равны ли диагонали ($AC^2=BD^2$), или перпендикулярны ли смежные стороны (например, скалярное произведение векторов $\vec{AB} \cdot \vec{BC} = 0$). Если это условие выполняется, то ромб является квадратом.

Формула для квадрата расстояния между двумя точками $P_1(x_1, y_1, z_1)$ и $P_2(x_2, y_2, z_2)$: $d^2 = (x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2$.

а) Даны вершины: A(4; 1; 3), B(3; 2; 5), C(6; 5; 5), D(7; 4; 3).

1. Найдем квадраты длин сторон:

$AB^2 = (3-4)^2 + (2-1)^2 + (5-3)^2 = (-1)^2 + 1^2 + 2^2 = 1 + 1 + 4 = 6$.

$BC^2 = (6-3)^2 + (5-2)^2 + (5-5)^2 = 3^2 + 3^2 + 0^2 = 9 + 9 + 0 = 18$.

Так как $AB^2 \neq BC^2$, стороны четырёхугольника не равны. Следовательно, он не является квадратом.

Для полноты анализа проверим остальные стороны и диагонали:

$CD^2 = (7-6)^2 + (4-5)^2 + (3-5)^2 = 1^2 + (-1)^2 + (-2)^2 = 1 + 1 + 4 = 6$.

$DA^2 = (4-7)^2 + (1-4)^2 + (3-3)^2 = (-3)^2 + (-3)^2 + 0^2 = 9 + 9 + 0 = 18$.

Так как $AB=CD$ и $BC=DA$, это параллелограмм.

$AC^2 = (6-4)^2 + (5-1)^2 + (5-3)^2 = 2^2 + 4^2 + 2^2 = 4 + 16 + 4 = 24$.

$BD^2 = (7-3)^2 + (4-2)^2 + (3-5)^2 = 4^2 + 2^2 + (-2)^2 = 16 + 4 + 4 = 24$.

Так как диагонали равны ($AC=BD$), а смежные стороны не равны ($AB \neq BC$), этот четырёхугольник является прямоугольником, но не квадратом.

Ответ: не является квадратом.

б) Даны вершины: A(6; -1; 4), B(5; 1; 5), C(-2; -1; -2), D(-1; -11; 7).

1. Найдем квадраты длин сторон:

$AB^2 = (5-6)^2 + (1-(-1))^2 + (5-4)^2 = (-1)^2 + 2^2 + 1^2 = 1 + 4 + 1 = 6$.

$BC^2 = (-2-5)^2 + (-1-1)^2 + (-2-5)^2 = (-7)^2 + (-2)^2 + (-7)^2 = 49 + 4 + 49 = 102$.

Так как $AB^2 \neq BC^2$, стороны четырёхугольника не равны. Следовательно, он не является квадратом.

Ответ: не является квадратом.

в) Даны вершины: A(-50; -1; 40), B(-13; -11; -19), C(54; -1; -38), D(17; 9; 21).

1. Найдем квадраты длин сторон:

$AB^2 = (-13-(-50))^2 + (-11-(-1))^2 + (-19-40)^2 = 37^2 + (-10)^2 + (-59)^2 = 1369 + 100 + 3481 = 4950$.

$BC^2 = (54-(-13))^2 + (-1-(-11))^2 + (-38-(-19))^2 = 67^2 + 10^2 + (-19)^2 = 4489 + 100 + 361 = 4950$.

$CD^2 = (17-54)^2 + (9-(-1))^2 + (21-(-38))^2 = (-37)^2 + 10^2 + 59^2 = 1369 + 100 + 3481 = 4950$.

$DA^2 = (-50-17)^2 + (-1-9)^2 + (40-21)^2 = (-67)^2 + (-10)^2 + 19^2 = 4489 + 100 + 361 = 4950$.

Так как $AB^2 = BC^2 = CD^2 = DA^2 = 4950$, все стороны равны, и четырёхугольник является ромбом.

2. Проверим, являются ли углы прямыми. Для этого найдем квадраты длин диагоналей:

$AC^2 = (54-(-50))^2 + (-1-(-1))^2 + (-38-40)^2 = 104^2 + 0^2 + (-78)^2 = 10816 + 0 + 6084 = 16900$.

$BD^2 = (17-(-13))^2 + (9-(-11))^2 + (21-(-19))^2 = 30^2 + 20^2 + 40^2 = 900 + 400 + 1600 = 2900$.

Так как $AC^2 \neq BD^2$, диагонали ромба не равны. Следовательно, его углы не являются прямыми. Таким образом, четырёхугольник не является квадратом.

Ответ: не является квадратом.