Номер 378, страница 140 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

378. Найдите точку, расстояние от которой до точки $M(-2; 3; 5)$ вдвое меньше расстояния до точки $K(4; -10; -4)$, учитывая, что она расположена на оси:

a) абсцисс;

б) ординат;

в) аппликат.

Пусть искомая точка $P$ имеет координаты $(x, y, z)$.

Даны точки $M(-2; 3; 5)$ и $K(4; -10; -4)$.

По условию задачи, расстояние от точки $P$ до точки $M$ вдвое меньше расстояния от точки $P$ до точки $K$. Это можно записать как $2 \cdot PM = PK$.

Для удобства вычислений возведем обе части равенства в квадрат: $4 \cdot PM^2 = PK^2$.

Формула квадрата расстояния между двумя точками $A(x_1, y_1, z_1)$ и $B(x_2, y_2, z_2)$ имеет вид: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2$.

Тогда:

$PM^2 = (x - (-2))^2 + (y - 3)^2 + (z - 5)^2 = (x + 2)^2 + (y - 3)^2 + (z - 5)^2$

$PK^2 = (x - 4)^2 + (y - (-10))^2 + (z - (-4))^2 = (x - 4)^2 + (y + 10)^2 + (z + 4)^2$

Подставим эти выражения в наше уравнение $4 \cdot PM^2 = PK^2$:

$4((x + 2)^2 + (y - 3)^2 + (z - 5)^2) = (x - 4)^2 + (y + 10)^2 + (z + 4)^2$.

Это общее уравнение, которое мы будем использовать для каждого из случаев.

а) абсцисс;

Если точка лежит на оси абсцисс (оси Ox), то ее координаты равны $P(x; 0; 0)$. Подставим $y=0$ и $z=0$ в общее уравнение:

$4((x + 2)^2 + (0 - 3)^2 + (0 - 5)^2) = (x - 4)^2 + (0 + 10)^2 + (0 + 4)^2$

$4((x + 2)^2 + 9 + 25) = (x - 4)^2 + 100 + 16$

$4((x + 2)^2 + 34) = (x - 4)^2 + 116$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$4(x^2 + 4x + 4 + 34) = x^2 - 8x + 16 + 116$

$4(x^2 + 4x + 38) = x^2 - 8x + 132$

$4x^2 + 16x + 152 = x^2 - 8x + 132$

$3x^2 + 24x + 20 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 24^2 - 4 \cdot 3 \cdot 20 = 576 - 240 = 336$

Найдем корни уравнения:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-24 \pm \sqrt{336}}{2 \cdot 3} = \frac{-24 \pm \sqrt{16 \cdot 21}}{6} = \frac{-24 \pm 4\sqrt{21}}{6} = \frac{-12 \pm 2\sqrt{21}}{3}$

Таким образом, мы получили две точки, удовлетворяющие условию.

Ответ: $(\frac{-12 + 2\sqrt{21}}{3}; 0; 0)$ и $(\frac{-12 - 2\sqrt{21}}{3}; 0; 0)$.

б) ординат;

Если точка лежит на оси ординат (оси Oy), то ее координаты равны $P(0; y; 0)$. Подставим $x=0$ и $z=0$ в общее уравнение:

$4((0 + 2)^2 + (y - 3)^2 + (0 - 5)^2) = (0 - 4)^2 + (y + 10)^2 + (0 + 4)^2$

$4(4 + (y - 3)^2 + 25) = 16 + (y + 10)^2 + 16$

$4((y - 3)^2 + 29) = (y + 10)^2 + 32$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$4(y^2 - 6y + 9 + 29) = y^2 + 20y + 100 + 32$

$4(y^2 - 6y + 38) = y^2 + 20y + 132$

$4y^2 - 24y + 152 = y^2 + 20y + 132$

$3y^2 - 44y + 20 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-44)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 20 = 1936 - 240 = 1696$

Найдем корни уравнения:

$y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{44 \pm \sqrt{1696}}{2 \cdot 3} = \frac{44 \pm \sqrt{16 \cdot 106}}{6} = \frac{44 \pm 4\sqrt{106}}{6} = \frac{22 \pm 2\sqrt{106}}{3}$

Таким образом, мы получили две точки, удовлетворяющие условию.

Ответ: $(0; \frac{22 + 2\sqrt{106}}{3}; 0)$ и $(0; \frac{22 - 2\sqrt{106}}{3}; 0)$.

в) аппликат.

Если точка лежит на оси аппликат (оси Oz), то ее координаты равны $P(0; 0; z)$. Подставим $x=0$ и $y=0$ в общее уравнение:

$4((0 + 2)^2 + (0 - 3)^2 + (z - 5)^2) = (0 - 4)^2 + (0 + 10)^2 + (z + 4)^2$

$4(4 + 9 + (z - 5)^2) = 16 + 100 + (z + 4)^2$

$4(13 + (z - 5)^2) = 116 + (z + 4)^2$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$4(13 + z^2 - 10z + 25) = z^2 + 8z + 16 + 116$

$4(z^2 - 10z + 38) = z^2 + 8z + 132$

$4z^2 - 40z + 152 = z^2 + 8z + 132$

$3z^2 - 48z + 20 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-48)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 20 = 2304 - 240 = 2064$

Найдем корни уравнения:

$z = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{48 \pm \sqrt{2064}}{2 \cdot 3} = \frac{48 \pm \sqrt{16 \cdot 129}}{6} = \frac{48 \pm 4\sqrt{129}}{6} = \frac{24 \pm 2\sqrt{129}}{3}$

Таким образом, мы получили две точки, удовлетворяющие условию.

Ответ: $(0; 0; \frac{24 + 2\sqrt{129}}{3})$ и $(0; 0; \frac{24 - 2\sqrt{129}}{3})$.