Номер 379, страница 140 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

379. Прямая проходит через начало системы координат и точку $C(4; -3; 12)$. Найдите углы, которые образует эта прямая:

а) с осью абсцисс;

б) с осью ординат;

в) с осью аппликат;

г) с плоскостью $xOy$;

д) с плоскостью $xOz$.

е) с плоскостью $yOz$.

Поскольку прямая проходит через начало координат $O(0; 0; 0)$ и точку $C(4; -3; 12)$, ее направляющим вектором является вектор $\vec{OC}$.

Найдем координаты направляющего вектора $\vec{a} = \vec{OC}$:$\vec{a} = (4 - 0; -3 - 0; 12 - 0) = (4; -3; 12)$.

Найдем модуль (длину) этого вектора:$|\vec{a}| = \sqrt{4^2 + (-3)^2 + 12^2} = \sqrt{16 + 9 + 144} = \sqrt{169} = 13$.

а) с осью абсцисс

Угол $\alpha$ между прямой и осью абсцисс (осью $Ox$) находится через косинус угла между направляющим вектором прямой $\vec{a}$ и направляющим вектором оси $Ox$, которым является вектор $\vec{i}=(1; 0; 0)$.$\cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{i}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{i}|} = \frac{4 \cdot 1 + (-3) \cdot 0 + 12 \cdot 0}{13 \cdot \sqrt{1^2+0^2+0^2}} = \frac{4}{13}$. Следовательно, искомый угол $\alpha = \arccos\left(\frac{4}{13}\right)$.

Ответ: $\arccos\left(\frac{4}{13}\right)$.

б) с осью ординат

Угол $\beta$ между прямой и осью ординат (осью $Oy$) находится через косинус угла между вектором $\vec{a}$ и направляющим вектором оси $Oy$, которым является вектор $\vec{j}=(0; 1; 0)$.$\cos \beta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{j}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{j}|} = \frac{4 \cdot 0 + (-3) \cdot 1 + 12 \cdot 0}{13 \cdot 1} = -\frac{3}{13}$. Следовательно, искомый угол $\beta = \arccos\left(-\frac{3}{13}\right)$.

Ответ: $\arccos\left(-\frac{3}{13}\right)$.

в) с осью аппликат

Угол $\gamma$ между прямой и осью аппликат (осью $Oz$) находится через косинус угла между вектором $\vec{a}$ и направляющим вектором оси $Oz$, которым является вектор $\vec{k}=(0; 0; 1)$.$\cos \gamma = \frac{\vec{a} \cdot \vec{k}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{k}|} = \frac{4 \cdot 0 + (-3) \cdot 0 + 12 \cdot 1}{13 \cdot 1} = \frac{12}{13}$. Следовательно, искомый угол $\gamma = \arccos\left(\frac{12}{13}\right)$.

Ответ: $\arccos\left(\frac{12}{13}\right)$.

г) с плоскостью xOy

Угол $\theta_{xy}$ между прямой и координатной плоскостью $xOy$ находится через синус. Нормальным вектором к плоскости $xOy$ является вектор $\vec{n}_{xy} = \vec{k} = (0; 0; 1)$.$\sin \theta_{xy} = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{n}_{xy}|}{|\vec{a}| \cdot |\vec{n}_{xy}|} = \frac{|4 \cdot 0 + (-3) \cdot 0 + 12 \cdot 1|}{13 \cdot 1} = \frac{12}{13}$. Следовательно, искомый угол $\theta_{xy} = \arcsin\left(\frac{12}{13}\right)$.

Ответ: $\arcsin\left(\frac{12}{13}\right)$.

д) с плоскостью xOz

Угол $\theta_{xz}$ между прямой и координатной плоскостью $xOz$ находится через синус. Нормальным вектором к плоскости $xOz$ является вектор $\vec{n}_{xz} = \vec{j} = (0; 1; 0)$.$\sin \theta_{xz} = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{n}_{xz}|}{|\vec{a}| \cdot |\vec{n}_{xz}|} = \frac{|4 \cdot 0 + (-3) \cdot 1 + 12 \cdot 0|}{13 \cdot 1} = \frac{|-3|}{13} = \frac{3}{13}$. Следовательно, искомый угол $\theta_{xz} = \arcsin\left(\frac{3}{13}\right)$.

Ответ: $\arcsin\left(\frac{3}{13}\right)$.

е) с плоскостью yOz

Угол $\theta_{yz}$ между прямой и координатной плоскостью $yOz$ находится через синус. Нормальным вектором к плоскости $yOz$ является вектор $\vec{n}_{yz} = \vec{i} = (1; 0; 0)$.$\sin \theta_{yz} = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{n}_{yz}|}{|\vec{a}| \cdot |\vec{n}_{yz}|} = \frac{|4 \cdot 1 + (-3) \cdot 0 + 12 \cdot 0|}{13 \cdot 1} = \frac{|4|}{13} = \frac{4}{13}$. Следовательно, искомый угол $\theta_{yz} = \arcsin\left(\frac{4}{13}\right)$.

Ответ: $\arcsin\left(\frac{4}{13}\right)$.