Номер 374, страница 140 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

374. В пространстве отмечены точки $A(2; -1; 3)$ и $B(a; b; c)$. Найдите координаты точек, симметричных данным относительно:

а) начала системы координат;

б) точки $M(-1; 3; -2)$;

в) оси абсцисс;

г) оси ординат;

д) оси аппликат;

е) плоскости $xOy$;

ж) плоскости $xOz$;

з) плоскости $yOz$.

Для решения задачи используются общие правила нахождения координат точек, симметричных данным относительно начала координат, произвольной точки, осей координат и координатных плоскостей в трехмерном пространстве.

Даны точки $A(2; -1; 3)$ и $B(a; b; c)$. Найдем координаты симметричных им точек $A_1$ и $B_1$ для каждого случая.

а) начала системы координат

При симметрии относительно начала координат $O(0; 0; 0)$ каждая координата точки $P(x; y; z)$ меняет свой знак на противоположный, и симметричная точка имеет координаты $P'(-x; -y; -z)$.
Для точки $A(2; -1; 3)$ симметричной будет точка $A_1(-2; -(-1); -3)$, то есть $A_1(-2; 1; -3)$.
Для точки $B(a; b; c)$ симметричной будет точка $B_1(-a; -b; -c)$.

Ответ: $A_1(-2; 1; -3)$, $B_1(-a; -b; -c)$.

б) точки M(-1; 3; -2)

Если точка $P'(x'; y'; z')$ симметрична точке $P(x; y; z)$ относительно точки $C(x_0; y_0; z_0)$, то точка $C$ является серединой отрезка $PP'$. Координаты симметричной точки находятся по формулам: $x' = 2x_0 - x$, $y' = 2y_0 - y$, $z' = 2z_0 - z$.

Найдем координаты точки $A_1$, симметричной точке $A(2; -1; 3)$ относительно точки $M(-1; 3; -2)$:
$x_{A_1} = 2 \cdot (-1) - 2 = -2 - 2 = -4$
$y_{A_1} = 2 \cdot 3 - (-1) = 6 + 1 = 7$
$z_{A_1} = 2 \cdot (-2) - 3 = -4 - 3 = -7$
Таким образом, $A_1(-4; 7; -7)$.

Найдем координаты точки $B_1$, симметричной точке $B(a; b; c)$ относительно точки $M(-1; 3; -2)$:
$x_{B_1} = 2 \cdot (-1) - a = -2 - a$
$y_{B_1} = 2 \cdot 3 - b = 6 - b$
$z_{B_1} = 2 \cdot (-2) - c = -4 - c$
Таким образом, $B_1(-2-a; 6-b; -4-c)$.

Ответ: $A_1(-4; 7; -7)$, $B_1(-2-a; 6-b; -4-c)$.

в) оси абсцисс

При симметрии относительно оси абсцисс (оси $Ox$) координата $x$ точки $P(x; y; z)$ остается без изменений, а координаты $y$ и $z$ меняют свои знаки на противоположные. Симметричная точка имеет координаты $P'(x; -y; -z)$.
Для точки $A(2; -1; 3)$ симметричной является точка $A_1(2; -(-1); -3)$, то есть $A_1(2; 1; -3)$.
Для точки $B(a; b; c)$ симметричной является точка $B_1(a; -b; -c)$.

Ответ: $A_1(2; 1; -3)$, $B_1(a; -b; -c)$.

г) оси ординат

При симметрии относительно оси ординат (оси $Oy$) координата $y$ точки $P(x; y; z)$ остается без изменений, а координаты $x$ и $z$ меняют свои знаки на противоположные. Симметричная точка имеет координаты $P'(-x; y; -z)$.
Для точки $A(2; -1; 3)$ симметричной является точка $A_1(-2; -1; -3)$.
Для точки $B(a; b; c)$ симметричной является точка $B_1(-a; b; -c)$.

Ответ: $A_1(-2; -1; -3)$, $B_1(-a; b; -c)$.

д) оси аппликат

При симметрии относительно оси аппликат (оси $Oz$) координата $z$ точки $P(x; y; z)$ остается без изменений, а координаты $x$ и $y$ меняют свои знаки на противоположные. Симметричная точка имеет координаты $P'(-x; -y; z)$.
Для точки $A(2; -1; 3)$ симметричной является точка $A_1(-2; -(-1); 3)$, то есть $A_1(-2; 1; 3)$.
Для точки $B(a; b; c)$ симметричной является точка $B_1(-a; -b; c)$.

Ответ: $A_1(-2; 1; 3)$, $B_1(-a; -b; c)$.

е) плоскости xOy

При симметрии относительно плоскости $xOy$ (уравнение $z=0$) координаты $x$ и $y$ точки $P(x; y; z)$ остаются без изменений, а координата $z$ меняет свой знак на противоположный. Симметричная точка имеет координаты $P'(x; y; -z)$.
Для точки $A(2; -1; 3)$ симметричной является точка $A_1(2; -1; -3)$.
Для точки $B(a; b; c)$ симметричной является точка $B_1(a; b; -c)$.

Ответ: $A_1(2; -1; -3)$, $B_1(a; b; -c)$.

ж) плоскости xOz

При симметрии относительно плоскости $xOz$ (уравнение $y=0$) координаты $x$ и $z$ точки $P(x; y; z)$ остаются без изменений, а координата $y$ меняет свой знак на противоположный. Симметричная точка имеет координаты $P'(x; -y; z)$.
Для точки $A(2; -1; 3)$ симметричной является точка $A_1(2; -(-1); 3)$, то есть $A_1(2; 1; 3)$.
Для точки $B(a; b; c)$ симметричной является точка $B_1(a; -b; c)$.

Ответ: $A_1(2; 1; 3)$, $B_1(a; -b; c)$.

з) плоскости yOz

При симметрии относительно плоскости $yOz$ (уравнение $x=0$) координаты $y$ и $z$ точки $P(x; y; z)$ остаются без изменений, а координата $x$ меняет свой знак на противоположный. Симметричная точка имеет координаты $P'(-x; y; z)$.
Для точки $A(2; -1; 3)$ симметричной является точка $A_1(-2; -1; 3)$.
Для точки $B(a; b; c)$ симметричной является точка $B_1(-a; b; c)$.

Ответ: $A_1(-2; -1; 3)$, $B_1(-a; b; c)$.