Номер 380, страница 140 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

380. Прямая проходит через точки $B(8; -3; 7)$ и $C(5; 1; 7)$. Найдите углы, которые эта прямая образует:

a) с осью абсцисс;

б) с осью ординат;

в) с осью аппликат;

г) с плоскостью $xOy$;

д) с плоскостью $xOz$.

е) с плоскостью $yOz$.

Для нахождения углов, которые прямая образует с осями и плоскостями координат, сначала найдем направляющий вектор этой прямой. Прямая проходит через точки $B(8; -3; 7)$ и $C(5; 1; 7)$.

Направляющий вектор $\vec{s}$ можно найти как вектор $\vec{BC}$:

$\vec{s} = \vec{BC} = (5 - 8; 1 - (-3); 7 - 7) = (-3; 4; 0)$

Найдем модуль (длину) этого вектора:

$|\vec{s}| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 16 + 0} = \sqrt{25} = 5$

Углы $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, которые прямая (ее направляющий вектор) образует с осями координат $Ox$, $Oy$ и $Oz$ соответственно, находятся через направляющие косинусы:

$\cos \alpha = \frac{s_x}{|\vec{s}|}$, $\cos \beta = \frac{s_y}{|\vec{s}|}$, $\cos \gamma = \frac{s_z}{|\vec{s}|}$

а) с осью абсцисс

Ось абсцисс — это ось $Ox$. Угол $\alpha$ с этой осью находится из формулы:

$\cos \alpha = \frac{-3}{5}$

$\alpha = \arccos\left(-\frac{3}{5}\right)$

Ответ: $\arccos\left(-\frac{3}{5}\right)$

б) с осью ординат

Ось ординат — это ось $Oy$. Угол $\beta$ с этой осью находится из формулы:

$\cos \beta = \frac{4}{5}$

$\beta = \arccos\left(\frac{4}{5}\right)$

Ответ: $\arccos\left(\frac{4}{5}\right)$

в) с осью аппликат

Ось аппликат — это ось $Oz$. Угол $\gamma$ с этой осью находится из формулы:

$\cos \gamma = \frac{0}{5} = 0$

$\gamma = \arccos(0) = \frac{\pi}{2}$ или $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$

Угол $\phi$ между прямой с направляющим вектором $\vec{s}$ и плоскостью с вектором нормали $\vec{n}$ находится по формуле:

$\sin \phi = \frac{|\vec{s} \cdot \vec{n}|}{|\vec{s}| \cdot |\vec{n}|}$

г) с плоскостью $xOy$

Плоскость $xOy$ имеет уравнение $z=0$, ее вектор нормали $\vec{n} = (0; 0; 1)$. Модуль вектора нормали $|\vec{n}| = 1$.

$\sin \phi_{xy} = \frac{|(-3; 4; 0) \cdot (0; 0; 1)|}{5 \cdot 1} = \frac{|(-3)\cdot0 + 4\cdot0 + 0\cdot1|}{5} = \frac{0}{5} = 0$

$\phi_{xy} = \arcsin(0) = 0^\circ$. Это означает, что прямая параллельна плоскости $xOy$.

Ответ: $0^\circ$

д) с плоскостью $xOz$

Плоскость $xOz$ имеет уравнение $y=0$, ее вектор нормали $\vec{n} = (0; 1; 0)$. Модуль вектора нормали $|\vec{n}| = 1$.

$\sin \phi_{xz} = \frac{|(-3; 4; 0) \cdot (0; 1; 0)|}{5 \cdot 1} = \frac{|(-3)\cdot0 + 4\cdot1 + 0\cdot0|}{5} = \frac{4}{5}$

$\phi_{xz} = \arcsin\left(\frac{4}{5}\right)$

Ответ: $\arcsin\left(\frac{4}{5}\right)$

е) с плоскостью $yOz$

Плоскость $yOz$ имеет уравнение $x=0$, ее вектор нормали $\vec{n} = (1; 0; 0)$. Модуль вектора нормали $|\vec{n}| = 1$.

$\sin \phi_{yz} = \frac{|(-3; 4; 0) \cdot (1; 0; 0)|}{5 \cdot 1} = \frac{|(-3)\cdot1 + 4\cdot0 + 0\cdot0|}{5} = \frac{|-3|}{5} = \frac{3}{5}$

$\phi_{yz} = \arcsin\left(\frac{3}{5}\right)$

Ответ: $\arcsin\left(\frac{3}{5}\right)$