Номер 4, страница 134 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

4. Измерения $AB$, $BC$ и $CC_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равны $a$, $b$ и $c$ соответственно. Найдите угол между прямыми $AB_1$ и $CD_1$.

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $AB_1$ и $CD_1$ воспользуемся координатно-векторным методом. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A$. Ось $Ox$ направим вдоль ребра $AB$, ось $Oy$ — вдоль ребра $AD$, а ось $Oz$ — вдоль ребра $AA_1$.

В этой системе координат, учитывая, что измерения параллелепипеда $AB = a$, $BC = AD = b$ и $CC_1 = AA_1 = c$, найдем координаты необходимых для решения вершин:

• $A(0, 0, 0)$
• $B_1(a, 0, c)$
• $C(a, b, 0)$
• $D_1(0, b, c)$

Теперь найдем координаты направляющих векторов для прямых $AB_1$ и $CD_1$.

Направляющий вектор для прямой $AB_1$ — это вектор $\vec{AB_1}$:

$\vec{AB_1} = \{x_{B_1} - x_A; y_{B_1} - y_A; z_{B_1} - z_A\} = \{a - 0; 0 - 0; c - 0\} = \{a; 0; c\}$.

Направляющий вектор для прямой $CD_1$ — это вектор $\vec{CD_1}$:

$\vec{CD_1} = \{x_{D_1} - x_C; y_{D_1} - y_C; z_{D_1} - z_C\} = \{0 - a; b - b; c - 0\} = \{-a; 0; c\}$.

Угол $\phi$ между прямыми можно найти через косинус угла $\theta$ между их направляющими векторами. Если $\vec{u}$ и $\vec{v}$ — направляющие векторы, то косинус угла между ними вычисляется по формуле:

$\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AB_1}$ и $\vec{CD_1}$:

$\vec{AB_1} \cdot \vec{CD_1} = a \cdot (-a) + 0 \cdot 0 + c \cdot c = -a^2 + c^2 = c^2 - a^2$.

Вычислим модули (длины) этих векторов:

$|\vec{AB_1}| = \sqrt{a^2 + 0^2 + c^2} = \sqrt{a^2 + c^2}$.

$|\vec{CD_1}| = \sqrt{(-a)^2 + 0^2 + c^2} = \sqrt{a^2 + c^2}$.

Теперь найдем косинус угла $\theta$ между векторами:

$\cos \theta = \frac{c^2 - a^2}{\sqrt{a^2 + c^2} \cdot \sqrt{a^2 + c^2}} = \frac{c^2 - a^2}{a^2 + c^2}$.

По определению, угол между двумя прямыми — это наименьший из углов, образованных ими, и его значение лежит в пределах от $0^\circ$ до $90^\circ$. Косинус такого угла всегда неотрицателен. Если угол $\theta$ между векторами оказывается тупым ($\cos\theta < 0$), то искомый угол между прямыми $\phi$ будет ему смежным, и $\cos \phi = |\cos\theta|$.

Таким образом, косинус искомого угла $\phi$ между прямыми $AB_1$ и $CD_1$ равен модулю косинуса угла между их направляющими векторами:

$\cos \phi = \left| \frac{c^2 - a^2}{a^2 + c^2} \right|$.

Следовательно, сам угол $\phi$ равен арккосинусу этого выражения.

Ответ: $\arccos\left(\left|\frac{c^2-a^2}{c^2+a^2}\right|\right)$.