Номер 487, страница 173 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

487. В правильной шестиугольной призме все рёбра основания равны 1, боковые рёбра — 2. Найдите расстояние между прямой $AE_1$ (см. рис. 385) и прямой:

а) $B_1D$;

б) $A_1D_1$;

в) $A_1C$;

г) $A_1D$;

д) $F_1C$;

е) $F_1B$.

Для решения задачи используем метод координат. Введем прямоугольную систему координат. Пусть центр нижнего основания правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ находится в начале координат $O(0, 0, 0)$. Ось $Oz$ направим вдоль бокового ребра $AA_1$, а ось $Ox$ проведем через вершину $A$. Нижнее основание призмы лежит в плоскости $z=0$, а верхнее — в плоскости $z=2$.

По условию, все ребра основания равны 1, а боковые ребра равны 2. Координаты вершин основания $ABCDEF$ (правильного шестиугольника со стороной 1, вписанного в окружность радиуса 1):

• $A(1, 0, 0)$
• $B(\cos(60^\circ), \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
• $C(\cos(120^\circ), \sin(120^\circ), 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
• $D(\cos(180^\circ), \sin(180^\circ), 0) = (-1, 0, 0)$
• $E(\cos(240^\circ), \sin(240^\circ), 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$
• $F(\cos(300^\circ), \sin(300^\circ), 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Координаты вершин верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ (сдвинуты на 2 по оси $Oz$):

• $A_1(1, 0, 2)$
• $B_1(1/2, \sqrt{3}/2, 2)$
• $C_1(-1/2, \sqrt{3}/2, 2)$
• $D_1(-1, 0, 2)$
• $E_1(-1/2, -\sqrt{3}/2, 2)$
• $F_1(1/2, -\sqrt{3}/2, 2)$

Расстояние $d$ между скрещивающимися прямыми, одна из которых проходит через точку $M_1$ с направляющим вектором $\vec{u}$, а вторая — через точку $M_2$ с направляющим вектором $\vec{v}$, вычисляется по формуле:

$d = \frac{|\vec{M_1M_2} \cdot (\vec{u} \times \vec{v})|}{||\vec{u} \times \vec{v}||}$

Во всех подпунктах одной из прямых является $AE_1$. Найдем ее направляющий вектор. Возьмем точку $A(1, 0, 0)$ на этой прямой.

$\vec{u} = \vec{AE_1} = E_1 - A = (-1/2 - 1, -\sqrt{3}/2 - 0, 2 - 0) = (-3/2, -\sqrt{3}/2, 2)$.

а) Найдем расстояние между прямыми $AE_1$ и $B_1D$.

Прямая $B_1D$ проходит через точку $D(-1, 0, 0)$. Ее направляющий вектор $\vec{v} = \vec{DB_1} = B_1 - D = (1/2 - (-1), \sqrt{3}/2 - 0, 2 - 0) = (3/2, \sqrt{3}/2, 2)$. Для удобства вычислений можно взять коллинеарный вектор, например, $\vec{v} = D - B_1 = (-3/2, -\sqrt{3}/2, -2)$.

Вектор, соединяющий точки на прямых: $\vec{M_1M_2} = \vec{AD} = D - A = (-2, 0, 0)$.

Векторное произведение $\vec{u} \times \vec{v}$:

$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -3/2 & -\sqrt{3}/2 & 2 \\ -3/2 & -\sqrt{3}/2 & -2 \end{vmatrix} = (2\sqrt{3}, -6, 0)$.

Модуль векторного произведения: $||\vec{u} \times \vec{v}|| = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + (-6)^2 + 0^2} = \sqrt{12+36} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$.

Смешанное произведение: $\vec{AD} \cdot (\vec{u} \times \vec{v}) = (-2, 0, 0) \cdot (2\sqrt{3}, -6, 0) = -4\sqrt{3}$.

Расстояние: $d = \frac{|-4\sqrt{3}|}{4\sqrt{3}} = 1$.

Ответ: 1

б) Найдем расстояние между прямыми $AE_1$ и $A_1D_1$.

Прямая $A_1D_1$ проходит через точку $A_1(1, 0, 2)$. Ее направляющий вектор $\vec{v} = \vec{A_1D_1} = D_1 - A_1 = (-2, 0, 0)$.

Вектор, соединяющий точки на прямых: $\vec{M_1M_2} = \vec{AA_1} = A_1 - A = (0, 0, 2)$.

Векторное произведение $\vec{u} \times \vec{v}$:

$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -3/2 & -\sqrt{3}/2 & 2 \\ -2 & 0 & 0 \end{vmatrix} = (0, -4, -\sqrt{3})$.

Модуль векторного произведения: $||\vec{u} \times \vec{v}|| = \sqrt{0^2 + (-4)^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{16+3} = \sqrt{19}$.

Смешанное произведение: $\vec{AA_1} \cdot (\vec{u} \times \vec{v}) = (0, 0, 2) \cdot (0, -4, -\sqrt{3}) = -2\sqrt{3}$.

Расстояние: $d = \frac{|-2\sqrt{3}|}{\sqrt{19}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{19}} = \frac{2\sqrt{57}}{19}$.

Ответ: $\frac{2\sqrt{57}}{19}$

в) Найдем расстояние между прямыми $AE_1$ и $A_1C$.

Прямая $A_1C$ проходит через точку $C(-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$. Ее направляющий вектор $\vec{v} = \vec{CA_1} = A_1 - C = (1 - (-1/2), 0 - \sqrt{3}/2, 2 - 0) = (3/2, -\sqrt{3}/2, 2)$. Возьмем $\vec{v} = C-A_1 = (-3/2, \sqrt{3}/2, -2)$.

Вектор, соединяющий точки на прямых: $\vec{M_1M_2} = \vec{AC} = C - A = (-3/2, \sqrt{3}/2, 0)$.

Векторное произведение $\vec{u} \times \vec{v}$:

$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -3/2 & -\sqrt{3}/2 & 2 \\ -3/2 & \sqrt{3}/2 & -2 \end{vmatrix} = (0, -6, -3\sqrt{3}/2)$.

Модуль векторного произведения: $||\vec{u} \times \vec{v}|| = \sqrt{0^2 + (-6)^2 + (-3\sqrt{3}/2)^2} = \sqrt{36 + 27/4} = \sqrt{171/4} = \frac{3\sqrt{19}}{2}$.

Смешанное произведение: $\vec{AC} \cdot (\vec{u} \times \vec{v}) = (-3/2, \sqrt{3}/2, 0) \cdot (0, -6, -3\sqrt{3}/2) = -3\sqrt{3}$.

Расстояние: $d = \frac{|-3\sqrt{3}|}{3\sqrt{19}/2} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{19}} = \frac{2\sqrt{57}}{19}$.

Ответ: $\frac{2\sqrt{57}}{19}$

г) Найдем расстояние между прямыми $AE_1$ и $A_1D$.

Прямая $A_1D$ проходит через точку $D(-1, 0, 0)$. Ее направляющий вектор $\vec{v} = \vec{DA_1} = A_1 - D = (2, 0, 2)$. Можно взять коллинеарный вектор $(1, 0, 1)$. Возьмем $\vec{v} = D - A_1 = (-2, 0, -2)$.

Вектор, соединяющий точки на прямых: $\vec{M_1M_2} = \vec{AD} = D - A = (-2, 0, 0)$.

Векторное произведение $\vec{u} \times \vec{v}$:

$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -3/2 & -\sqrt{3}/2 & 2 \\ -2 & 0 & -2 \end{vmatrix} = (\sqrt{3}, -7, -\sqrt{3})$.

Модуль векторного произведения: $||\vec{u} \times \vec{v}|| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-7)^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{3+49+3} = \sqrt{55}$.

Смешанное произведение: $\vec{AD} \cdot (\vec{u} \times \vec{v}) = (-2, 0, 0) \cdot (\sqrt{3}, -7, -\sqrt{3}) = -2\sqrt{3}$.

Расстояние: $d = \frac{|-2\sqrt{3}|}{\sqrt{55}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{55}} = \frac{2\sqrt{165}}{55}$.

Ответ: $\frac{2\sqrt{165}}{55}$

д) Найдем расстояние между прямыми $AE_1$ и $F_1C$.

Прямая $F_1C$ проходит через точку $C(-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$. Ее направляющий вектор $\vec{v} = \vec{CF_1} = F_1 - C = (1, -\sqrt{3}, 2)$. Возьмем $\vec{v} = C-F_1 = (-1, \sqrt{3}, -2)$.

Вектор, соединяющий точки на прямых: $\vec{M_1M_2} = \vec{AC} = C - A = (-3/2, \sqrt{3}/2, 0)$.

Векторное произведение $\vec{u} \times \vec{v}$:

$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -3/2 & -\sqrt{3}/2 & 2 \\ -1 & \sqrt{3} & -2 \end{vmatrix} = (-\sqrt{3}, -5, -2\sqrt{3})$.

Модуль векторного произведения: $||\vec{u} \times \vec{v}|| = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + (-5)^2 + (-2\sqrt{3})^2} = \sqrt{3+25+12} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$.

Смешанное произведение: $\vec{AC} \cdot (\vec{u} \times \vec{v}) = (-3/2, \sqrt{3}/2, 0) \cdot (-\sqrt{3}, -5, -2\sqrt{3}) = \frac{3\sqrt{3}}{2} - \frac{5\sqrt{3}}{2} = -\sqrt{3}$.

Расстояние: $d = \frac{|-\sqrt{3}|}{2\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{30}}{20}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{30}}{20}$

е) Найдем расстояние между прямыми $AE_1$ и $F_1B$.

Прямая $F_1B$ проходит через точку $B(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$. Ее направляющий вектор $\vec{v} = \vec{BF_1} = F_1 - B = (0, -\sqrt{3}, 2)$. Возьмем $\vec{v} = B-F_1 = (0, \sqrt{3}, -2)$.

Вектор, соединяющий точки на прямых: $\vec{M_1M_2} = \vec{AB} = B - A = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$.

Векторное произведение $\vec{u} \times \vec{v}$:

$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -3/2 & -\sqrt{3}/2 & 2 \\ 0 & \sqrt{3} & -2 \end{vmatrix} = (-\sqrt{3}, -3, -3\sqrt{3}/2)$.

Модуль векторного произведения: $||\vec{u} \times \vec{v}|| = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + (-3)^2 + (-3\sqrt{3}/2)^2} = \sqrt{3+9+27/4} = \sqrt{75/4} = \frac{5\sqrt{3}}{2}$.

Смешанное произведение: $\vec{AB} \cdot (\vec{u} \times \vec{v}) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0) \cdot (-\sqrt{3}, -3, -3\sqrt{3}/2) = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{3\sqrt{3}}{2} = -\sqrt{3}$.

Расстояние: $d = \frac{|-\sqrt{3}|}{5\sqrt{3}/2} = \frac{2\sqrt{3}}{5\sqrt{3}} = \frac{2}{5}$.

Ответ: $\frac{2}{5}$