Номер 489, страница 173 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

489. Через диагональ $AC_1$ правильной четырёх-угольной призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ проходит плоскость $\alpha$, параллельная прямой $BD$. Учитывая, что $AB : AA_1 = 1 : \sqrt{2}$ (рис. 387), найдите угол между плоскостью $\alpha$ и плоскостью $ABC$.

Рис. 387

Искомый угол — это двугранный угол между секущей плоскостью $\alpha$ и плоскостью основания $ABC$. Величину двугранного угла можно найти как величину его линейного угла.

1. Построение линии пересечения плоскостей $\alpha$ и $ABC$.

Плоскость $\alpha$ проходит через диагональ $AC_1$, значит, точка $A$ принадлежит плоскости $\alpha$. Точка $A$ также принадлежит плоскости основания $ABC$. Следовательно, точка $A$ лежит на линии пересечения этих двух плоскостей.

По условию, плоскость $\alpha$ параллельна прямой $BD$. Прямая $BD$ лежит в плоскости $ABC$. По свойству параллельных прямой и плоскости, если плоскость, параллельная некоторой прямой, пересекает другую плоскость, содержащую эту прямую, то линия их пересечения параллельна этой прямой.

Таким образом, линия пересечения плоскостей $\alpha$ и $ABC$ — это прямая, проходящая через точку $A$ и параллельная прямой $BD$. Обозначим эту прямую $l$.

2. Построение линейного угла.

Линейный угол двугранного угла — это угол между двумя перпендикулярами к линии пересечения плоскостей, проведенными в этих плоскостях из одной точки. Проведем эти перпендикуляры из точки $A$ к прямой $l$.

• В плоскости основания $ABC$ лежит диагональ $AC$. Так как призма правильная, ее основание $ABCD$ — квадрат. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны, то есть $AC \perp BD$. Поскольку $l \parallel BD$, то $AC \perp l$.
• В плоскости $\alpha$ лежит прямая $AC_1$ (по условию). Докажем, что $AC_1$ перпендикулярна $BD$. Прямая $BD$ перпендикулярна $AC$. Боковое ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$, а значит, и прямой $BD$, лежащей в этой плоскости ($CC_1 \perp BD$). Так как прямая $BD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($AC$ и $CC_1$) в плоскости $ACC_1$, то $BD$ перпендикулярна всей плоскости $ACC_1$. Прямая $AC_1$ лежит в плоскости $ACC_1$, следовательно, $BD \perp AC_1$. Поскольку $l \parallel BD$, то и $AC_1 \perp l$.

Таким образом, угол между плоскостями $\alpha$ и $ABC$ равен углу между прямыми $AC$ и $AC_1$, то есть $\angle C_1AC$.

3. Вычисление угла $\angle C_1AC$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ACC_1$. Ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$, следовательно, $CC_1 \perp AC$. Значит, $\triangle ACC_1$ — прямоугольный треугольник с прямым углом $C$.

Пусть сторона основания $AB = x$. Из условия $AB : AA_1 = 1 : \sqrt{2}$ получаем, что $AA_1 = x\sqrt{2}$. Так как призма правильная, $CC_1 = AA_1 = x\sqrt{2}$.

Диагональ квадрата $ABCD$ со стороной $x$ равна $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{x^2 + x^2} = x\sqrt{2}$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle ACC_1$ катеты $AC$ и $CC_1$ равны: $AC = x\sqrt{2}$ $CC_1 = x\sqrt{2}$

Следовательно, $\triangle ACC_1$ является равнобедренным прямоугольным треугольником. Углы при гипотенузе $AC_1$ равны $45^\circ$.

Найдем тангенс угла $\angle C_1AC$: $\text{tg}(\angle C_1AC) = \frac{CC_1}{AC} = \frac{x\sqrt{2}}{x\sqrt{2}} = 1$.

Отсюда $\angle C_1AC = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$