Номер 486, страница 173 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

486. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ все рёбра основания равны 1, боковые рёбра — 2. Найдите расстояние между прямой $BC_1$ (рис. 386) и прямой:

а) $B_1E$

б) $F_1C$

в) $B_1D$

г) $A_1C$

д) $A_1E$

е) $F_1D$

Рис. 386

Для решения задачи введём трёхмерную декартову систему координат. Поместим начало координат $O$ в центр нижнего основания призмы $ABCDEF$. Ось $Ox$ направим вдоль отрезка $AD$, ось $Oy$ — перпендикулярно $Ox$ в плоскости основания, а ось $Oz$ — вертикально вверх, вдоль оси призмы.

Так как призма правильная, её основания — правильные шестиугольники. Сторона основания равна $a=1$, поэтому расстояние от центра до любой вершины основания также равно 1. Высота призмы (длина боковых рёбер) равна $h=2$.

Координаты вершин призмы:

• $A(1, 0, 0)$, $B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$, $C(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$, $D(-1, 0, 0)$, $E(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$, $F(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.
• $A_1(1, 0, 2)$, $B_1(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 2)$, $C_1(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 2)$, $D_1(-1, 0, 2)$, $E_1(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 2)$, $F_1(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 2)$.

Расстояние $d$ между двумя скрещивающимися прямыми, одна из которых проходит через точку $M_1$ с радиус-вектором $\vec{r_1}$ и имеет направляющий вектор $\vec{s_1}$, а вторая — через точку $M_2$ с радиус-вектором $\vec{r_2}$ и направляющим вектором $\vec{s_2}$, вычисляется по формуле смешанного произведения:

$$d = \frac{|(\vec{r_2} - \vec{r_1}) \cdot (\vec{s_1} \times \vec{s_2})|}{|\vec{s_1} \times \vec{s_2}|}$$

Во всех пунктах задачи одной из прямых является $BC_1$. Найдём её параметры:

• Точка на прямой: $B$. Её радиус-вектор $\vec{r_1} = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.
• Направляющий вектор: $\vec{s_1} = \vec{BC_1} = C_1 - B = (-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}, 2-0) = (-1, 0, 2)$.

а) Найдём расстояние между прямыми $BC_1$ и $B_1E$.

Для прямой $B_1E$:

• Точка на прямой: $E$. Её радиус-вектор $\vec{r_2} = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.
• Направляющий вектор: $\vec{s_2} = \vec{B_1E} = E - B_1 = (-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}, 0-2) = (-1, -\sqrt{3}, -2)$. Для удобства можно взять противоположный вектор $(1, \sqrt{3}, 2)$.

Вектор $\vec{r_2} - \vec{r_1} = E - B = (-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}, 0-0) = (-1, -\sqrt{3}, 0)$.

Векторное произведение $\vec{s_1} \times \vec{s_2}$:

$\vec{s_1} \times \vec{s_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 0 & 2 \\ 1 & \sqrt{3} & 2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 2 - 2 \cdot \sqrt{3}) - \mathbf{j}(-1 \cdot 2 - 2 \cdot 1) + \mathbf{k}(-1 \cdot \sqrt{3} - 0 \cdot 1) = (-2\sqrt{3}, 4, -\sqrt{3})$.

Модуль векторного произведения: $|\vec{s_1} \times \vec{s_2}| = \sqrt{(-2\sqrt{3})^2 + 4^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{12 + 16 + 3} = \sqrt{31}$.

Смешанное произведение: $(\vec{r_2} - \vec{r_1}) \cdot (\vec{s_1} \times \vec{s_2}) = (-1, -\sqrt{3}, 0) \cdot (-2\sqrt{3}, 4, -\sqrt{3}) = (-1)(-2\sqrt{3}) + (-\sqrt{3})(4) + 0 = 2\sqrt{3} - 4\sqrt{3} = -2\sqrt{3}$.

Расстояние: $d = \frac{|-2\sqrt{3}|}{\sqrt{31}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{31}} = \frac{2\sqrt{93}}{31}$.

Ответ: $\frac{2\sqrt{93}}{31}$.

б) Найдём расстояние между прямыми $BC_1$ и $F_1C$.

Для прямой $F_1C$:

• Точка на прямой: $C$. Её радиус-вектор $\vec{r_2} = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.
• Направляющий вектор: $\vec{s_2} = \vec{F_1C} = C - F_1 = (-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}-(-\frac{\sqrt{3}}{2}), 0-2) = (-1, \sqrt{3}, -2)$. Возьмём $(1, -\sqrt{3}, 2)$.

Вектор $\vec{r_2} - \vec{r_1} = C - B = (-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}, 0-0) = (-1, 0, 0)$.

Векторное произведение $\vec{s_1} \times \vec{s_2}$:

$\vec{s_1} \times \vec{s_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 0 & 2 \\ 1 & -\sqrt{3} & 2 \end{vmatrix} = (2\sqrt{3}, 4, \sqrt{3})$.

Модуль: $|\vec{s_1} \times \vec{s_2}| = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + 4^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{12 + 16 + 3} = \sqrt{31}$.

Смешанное произведение: $(\vec{r_2} - \vec{r_1}) \cdot (\vec{s_1} \times \vec{s_2}) = (-1, 0, 0) \cdot (2\sqrt{3}, 4, \sqrt{3}) = -2\sqrt{3}$.

Расстояние: $d = \frac{|-2\sqrt{3}|}{\sqrt{31}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{31}} = \frac{2\sqrt{93}}{31}$.

Ответ: $\frac{2\sqrt{93}}{31}$.

в) Найдём расстояние между прямыми $BC_1$ и $B_1D$.

Для прямой $B_1D$:

• Точка на прямой: $D$. Её радиус-вектор $\vec{r_2} = (-1, 0, 0)$.
• Направляющий вектор: $\vec{s_2} = \vec{B_1D} = D - B_1 = (-1-\frac{1}{2}, 0-\frac{\sqrt{3}}{2}, 0-2) = (-\frac{3}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, -2)$. Возьмём $(3, \sqrt{3}, 4)$.

Вектор $\vec{r_2} - \vec{r_1} = D - B = (-1-\frac{1}{2}, 0-\frac{\sqrt{3}}{2}, 0-0) = (-\frac{3}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Векторное произведение $\vec{s_1} \times \vec{s_2}$:

$\vec{s_1} \times \vec{s_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 0 & 2 \\ 3 & \sqrt{3} & 4 \end{vmatrix} = (-2\sqrt{3}, 10, -\sqrt{3})$.

Модуль: $|\vec{s_1} \times \vec{s_2}| = \sqrt{(-2\sqrt{3})^2 + 10^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{12 + 100 + 3} = \sqrt{115}$.

Смешанное произведение: $(\vec{r_2} - \vec{r_1}) \cdot (\vec{s_1} \times \vec{s_2}) = (-\frac{3}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0) \cdot (-2\sqrt{3}, 10, -\sqrt{3}) = (-\frac{3}{2})(-2\sqrt{3}) + (-\frac{\sqrt{3}}{2})(10) = 3\sqrt{3} - 5\sqrt{3} = -2\sqrt{3}$.

Расстояние: $d = \frac{|-2\sqrt{3}|}{\sqrt{115}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{115}} = \frac{2\sqrt{345}}{115}$.

Ответ: $\frac{2\sqrt{345}}{115}$.

г) Найдём расстояние между прямыми $BC_1$ и $A_1C$.

Для прямой $A_1C$:

• Точка на прямой: $C$. Её радиус-вектор $\vec{r_2} = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.
• Направляющий вектор: $\vec{s_2} = \vec{A_1C} = C - A_1 = (-\frac{1}{2}-1, \frac{\sqrt{3}}{2}-0, 0-2) = (-\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, -2)$. Возьмём $(3, -\sqrt{3}, 4)$.

Вектор $\vec{r_2} - \vec{r_1} = C - B = (-1, 0, 0)$.

Векторное произведение $\vec{s_1} \times \vec{s_2}$:

$\vec{s_1} \times \vec{s_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 0 & 2 \\ 3 & -\sqrt{3} & 4 \end{vmatrix} = (2\sqrt{3}, 10, \sqrt{3})$.

Модуль: $|\vec{s_1} \times \vec{s_2}| = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + 10^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{12 + 100 + 3} = \sqrt{115}$.

Смешанное произведение: $(\vec{r_2} - \vec{r_1}) \cdot (\vec{s_1} \times \vec{s_2}) = (-1, 0, 0) \cdot (2\sqrt{3}, 10, \sqrt{3}) = -2\sqrt{3}$.

Расстояние: $d = \frac{|-2\sqrt{3}|}{\sqrt{115}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{115}} = \frac{2\sqrt{345}}{115}$.

Ответ: $\frac{2\sqrt{345}}{115}$.

д) Найдём расстояние между прямыми $BC_1$ и $A_1E$.

Для прямой $A_1E$:

• Точка на прямой: $E$. Её радиус-вектор $\vec{r_2} = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.
• Направляющий вектор: $\vec{s_2} = \vec{A_1E} = E - A_1 = (-\frac{1}{2}-1, -\frac{\sqrt{3}}{2}-0, 0-2) = (-\frac{3}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, -2)$. Возьмём $(3, \sqrt{3}, 4)$.

Этот направляющий вектор совпадает с вектором для прямой $B_1D$ из пункта (в). Следовательно, прямые $A_1E$ и $B_1D$ параллельны, а векторное произведение и его модуль будут такими же, как в пункте (в): $\vec{s_1} \times \vec{s_2} = (-2\sqrt{3}, 10, -\sqrt{3})$ и $|\vec{s_1} \times \vec{s_2}| = \sqrt{115}$.

Вектор $\vec{r_2} - \vec{r_1} = E - B = (-1, -\sqrt{3}, 0)$.

Смешанное произведение: $(\vec{r_2} - \vec{r_1}) \cdot (\vec{s_1} \times \vec{s_2}) = (-1, -\sqrt{3}, 0) \cdot (-2\sqrt{3}, 10, -\sqrt{3}) = (-1)(-2\sqrt{3}) + (-\sqrt{3})(10) = 2\sqrt{3} - 10\sqrt{3} = -8\sqrt{3}$.

Расстояние: $d = \frac{|-8\sqrt{3}|}{\sqrt{115}} = \frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{115}} = \frac{8\sqrt{345}}{115}$.

Ответ: $\frac{8\sqrt{345}}{115}$.

е) Найдём расстояние между прямыми $BC_1$ и $F_1D$.

Для прямой $F_1D$:

• Точка на прямой: $D$. Её радиус-вектор $\vec{r_2} = (-1, 0, 0)$.
• Направляющий вектор: $\vec{s_2} = \vec{F_1D} = D - F_1 = (-1-\frac{1}{2}, 0-(-\frac{\sqrt{3}}{2}), 0-2) = (-\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, -2)$. Возьмём $(3, -\sqrt{3}, 4)$.

Этот направляющий вектор совпадает с вектором для прямой $A_1C$ из пункта (г). Прямые $F_1D$ и $A_1C$ параллельны. Векторное произведение и его модуль будут такими же, как в пункте (г): $\vec{s_1} \times \vec{s_2} = (2\sqrt{3}, 10, \sqrt{3})$ и $|\vec{s_1} \times \vec{s_2}| = \sqrt{115}$.

Вектор $\vec{r_2} - \vec{r_1} = D - B = (-\frac{3}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Смешанное произведение: $(\vec{r_2} - \vec{r_1}) \cdot (\vec{s_1} \times \vec{s_2}) = (-\frac{3}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0) \cdot (2\sqrt{3}, 10, \sqrt{3}) = (-\frac{3}{2})(2\sqrt{3}) + (-\frac{\sqrt{3}}{2})(10) = -3\sqrt{3} - 5\sqrt{3} = -8\sqrt{3}$.

Расстояние: $d = \frac{|-8\sqrt{3}|}{\sqrt{115}} = \frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{115}} = \frac{8\sqrt{345}}{115}$.

Ответ: $\frac{8\sqrt{345}}{115}$.