Номер 485, страница 172 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

485. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ все рёбра основания равны 1, боковые рёбра — 2. Найдите угол между прямой $AE_1$ (рис. 385) и прямой:

а) $B_1D$

б) $A_1D_1$

в) $A_1C$

г) $A_1D$

д) $F_1C$

е) $DB_1$

Рис. 385

Для нахождения углов между прямыми в пространстве воспользуемся координатным методом. Введем прямоугольную систему координат. Поместим центр нижнего основания $ABCDEF$ в начало координат $O(0, 0, 0)$. Ось $Oz$ направим вдоль высоты призмы (параллельно боковым ребрам, например, $AA_1$). Ось $Ox$ направим так, чтобы она проходила через вершины $A$ и $D$.

Так как призма правильная, ее основания — правильные шестиугольники. По условию, сторона основания равна 1, а боковое ребро равно 2. В правильном шестиугольнике расстояние от центра до любой вершины равно длине стороны, то есть 1.

Исходя из этого, определим координаты вершин призмы.
Вершины нижнего основания (плоскость $z=0$):$A(1, 0, 0)$$B(1 \cdot \cos(-60^\circ), 1 \cdot \sin(-60^\circ), 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$$C(-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$$D(-1, 0, 0)$$E(-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$$F(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

Вершины верхнего основания (плоскость $z=2$):$A_1(1, 0, 2)$$B_1(1/2, -\sqrt{3}/2, 2)$$C_1(-1/2, -\sqrt{3}/2, 2)$$D_1(-1, 0, 2)$$E_1(-1/2, \sqrt{3}/2, 2)$$F_1(1/2, \sqrt{3}/2, 2)$

Угол $\phi$ между двумя прямыми, заданными направляющими векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$, находится по формуле:$\cos\phi = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

Найдем направляющий вектор для прямой $AE_1$ и его длину.$A(1, 0, 0)$, $E_1(-1/2, \sqrt{3}/2, 2)$.$\vec{v} = \vec{AE_1} = \{-1/2 - 1; \sqrt{3}/2 - 0; 2 - 0\} = \{-3/2; \sqrt{3}/2; 2\}$.$|\vec{v}| = |\vec{AE_1}| = \sqrt{(-3/2)^2 + (\sqrt{3}/2)^2 + 2^2} = \sqrt{9/4 + 3/4 + 4} = \sqrt{12/4 + 4} = \sqrt{3+4} = \sqrt{7}$.

а) $B_1D$
Найдем направляющий вектор $\vec{u_a} = \vec{B_1D}$ и его длину.$B_1(1/2, -\sqrt{3}/2, 2)$, $D(-1, 0, 0)$.
$\vec{u_a} = \{-1 - 1/2; 0 - (-\sqrt{3}/2); 0 - 2\} = \{-3/2; \sqrt{3}/2; -2\}$.
$|\vec{u_a}| = \sqrt{(-3/2)^2 + (\sqrt{3}/2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{9/4 + 3/4 + 4} = \sqrt{3+4} = \sqrt{7}$.
Найдем скалярное произведение векторов:
$\vec{v} \cdot \vec{u_a} = (-3/2) \cdot (-3/2) + (\sqrt{3}/2) \cdot (\sqrt{3}/2) + 2 \cdot (-2) = 9/4 + 3/4 - 4 = 12/4 - 4 = 3 - 4 = -1$.
Найдем косинус угла $\phi_a$ между прямыми:
$\cos\phi_a = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{u_a}|}{|\vec{v}| \cdot |\vec{u_a}|} = \frac{|-1|}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{1}{7}$.
Ответ: $\arccos(1/7)$.

б) $A_1D_1$
Найдем направляющий вектор $\vec{u_б} = \vec{A_1D_1}$ и его длину.$A_1(1, 0, 2)$, $D_1(-1, 0, 2)$.
$\vec{u_б} = \{-1 - 1; 0 - 0; 2 - 2\} = \{-2; 0; 0\}$.
$|\vec{u_б}| = \sqrt{(-2)^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{4} = 2$.
Найдем скалярное произведение векторов:
$\vec{v} \cdot \vec{u_б} = (-3/2) \cdot (-2) + (\sqrt{3}/2) \cdot 0 + 2 \cdot 0 = 3$.
Найдем косинус угла $\phi_б$ между прямыми:
$\cos\phi_б = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{u_б}|}{|\vec{v}| \cdot |\vec{u_б}|} = \frac{|3|}{\sqrt{7} \cdot 2} = \frac{3}{2\sqrt{7}} = \frac{3\sqrt{7}}{14}$.
Ответ: $\arccos(3\sqrt{7}/14)$.

в) $A_1C$
Найдем направляющий вектор $\vec{u_в} = \vec{A_1C}$ и его длину.$A_1(1, 0, 2)$, $C(-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$.
$\vec{u_в} = \{-1/2 - 1; -\sqrt{3}/2 - 0; 0 - 2\} = \{-3/2; -\sqrt{3}/2; -2\}$.
$|\vec{u_в}| = \sqrt{(-3/2)^2 + (-\sqrt{3}/2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{9/4 + 3/4 + 4} = \sqrt{3+4} = \sqrt{7}$.
Найдем скалярное произведение векторов:
$\vec{v} \cdot \vec{u_в} = (-3/2) \cdot (-3/2) + (\sqrt{3}/2) \cdot (-\sqrt{3}/2) + 2 \cdot (-2) = 9/4 - 3/4 - 4 = 6/4 - 4 = 3/2 - 8/2 = -5/2$.
Найдем косинус угла $\phi_в$ между прямыми:
$\cos\phi_в = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{u_в}|}{|\vec{v}| \cdot |\vec{u_в}|} = \frac{|-5/2|}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{5/2}{7} = \frac{5}{14}$.
Ответ: $\arccos(5/14)$.

г) $A_1D$
Найдем направляющий вектор $\vec{u_г} = \vec{A_1D}$ и его длину.$A_1(1, 0, 2)$, $D(-1, 0, 0)$.
$\vec{u_г} = \{-1 - 1; 0 - 0; 0 - 2\} = \{-2; 0; -2\}$.
$|\vec{u_г}| = \sqrt{(-2)^2 + 0^2 + (-2)^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
Найдем скалярное произведение векторов:
$\vec{v} \cdot \vec{u_г} = (-3/2) \cdot (-2) + (\sqrt{3}/2) \cdot 0 + 2 \cdot (-2) = 3 - 4 = -1$.
Найдем косинус угла $\phi_г$ между прямыми:
$\cos\phi_г = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{u_г}|}{|\vec{v}| \cdot |\vec{u_г}|} = \frac{|-1|}{\sqrt{7} \cdot 2\sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{14}} = \frac{\sqrt{14}}{28}$.
Ответ: $\arccos(\sqrt{14}/28)$.

д) $F_1C$
Найдем направляющий вектор $\vec{u_д} = \vec{F_1C}$ и его длину.$F_1(1/2, \sqrt{3}/2, 2)$, $C(-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$.
$\vec{u_д} = \{-1/2 - 1/2; -\sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2; 0 - 2\} = \{-1; -\sqrt{3}; -2\}$.
$|\vec{u_д}| = \sqrt{(-1)^2 + (-\sqrt{3})^2 + (-2)^2} = \sqrt{1+3+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
Найдем скалярное произведение векторов:
$\vec{v} \cdot \vec{u_д} = (-3/2) \cdot (-1) + (\sqrt{3}/2) \cdot (-\sqrt{3}) + 2 \cdot (-2) = 3/2 - 3/2 - 4 = -4$.
Найдем косинус угла $\phi_д$ между прямыми:
$\cos\phi_д = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{u_д}|}{|\vec{v}| \cdot |\vec{u_д}|} = \frac{|-4|}{\sqrt{7} \cdot 2\sqrt{2}} = \frac{4}{2\sqrt{14}} = \frac{2}{\sqrt{14}} = \frac{2\sqrt{14}}{14} = \frac{\sqrt{14}}{7}$.
Ответ: $\arccos(\sqrt{14}/7)$.

е) $DB_1$
Найдем направляющий вектор $\vec{u_е} = \vec{DB_1}$ и его длину.$D(-1, 0, 0)$, $B_1(1/2, -\sqrt{3}/2, 2)$.
$\vec{u_е} = \{1/2 - (-1); -\sqrt{3}/2 - 0; 2 - 0\} = \{3/2; -\sqrt{3}/2; 2\}$.
$|\vec{u_е}| = \sqrt{(3/2)^2 + (-\sqrt{3}/2)^2 + 2^2} = \sqrt{9/4 + 3/4 + 4} = \sqrt{3+4} = \sqrt{7}$.
Найдем скалярное произведение векторов:
$\vec{v} \cdot \vec{u_е} = (-3/2) \cdot (3/2) + (\sqrt{3}/2) \cdot (-\sqrt{3}/2) + 2 \cdot 2 = -9/4 - 3/4 + 4 = -12/4 + 4 = -3 + 4 = 1$.
Найдем косинус угла $\phi_е$ между прямыми:
$\cos\phi_е = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{u_е}|}{|\vec{v}| \cdot |\vec{u_е}|} = \frac{|1|}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{1}{7}$.
Ответ: $\arccos(1/7)$.