Номер 503, страница 175 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

503. На рёбрах $BC$, $AD$ и диагонали грани $CD_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отмечены точки $K$, $L$ и $M$ так, что $BK : KC = 1 : 2$, $AL : LD = 1 : 1$, $CM : MD_1 = 2 : 1$. Ребро куба равно 3 (рис. 390). Найдите расстояние $d$ от точки:

а) $A_1$ до прямой $KM$;

б) $M$ до прямой $A_1K$;

в) $L$ до прямой $BM$;

г) $K$ до прямой $AM$;

д) $L$ до прямой $AM$;

е) $K$ до прямой $LM$.

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $D(0, 0, 0)$. Направим оси координат следующим образом: ось $Ox$ вдоль ребра $DA$, ось $Oy$ вдоль ребра $DC$ и ось $Oz$ вдоль ребра $DD_1$. Так как ребро куба равно 3, координаты его вершин будут:

• $A(3, 0, 0)$
• $B(3, 3, 0)$
• $C(0, 3, 0)$
• $D(0, 0, 0)$
• $A_1(3, 0, 3)$
• $B_1(3, 3, 3)$
• $C_1(0, 3, 3)$
• $D_1(0, 0, 3)$

Теперь найдем координаты точек $K, L$ и $M$ исходя из условий задачи.

• Точка $L$ делит ребро $AD$ в отношении $AL:LD = 1:1$, следовательно, $L$ — середина $AD$. Ее координаты: $L(\frac{3+0}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}) = L(\frac{3}{2}, 0, 0)$.
• Точка $K$ делит ребро $BC$ в отношении $BK:KC = 1:2$. Длина ребра $BC$ равна 3, значит $BK=1$ и $KC=2$. Координаты точки $K$ можно найти по формуле деления отрезка: $K = \frac{2 \cdot B + 1 \cdot C}{2+1} = \frac{2(3, 3, 0) + 1(0, 3, 0)}{3} = \frac{(6, 6, 0) + (0, 3, 0)}{3} = \frac{(6, 9, 0)}{3} = (2, 3, 0)$. Итак, $K(2, 3, 0)$.
• Точка $M$ делит диагональ грани $CD_1$ в отношении $CM:MD_1 = 2:1$. Координаты $C(0, 3, 0)$ и $D_1(0, 0, 3)$. По формуле деления отрезка: $M = \frac{1 \cdot C + 2 \cdot D_1}{1+2} = \frac{1(0, 3, 0) + 2(0, 0, 3)}{3} = \frac{(0, 3, 0) + (0, 0, 6)}{3} = \frac{(0, 3, 6)}{3} = (0, 1, 2)$. Итак, $M(0, 1, 2)$.

Расстояние $d$ от точки $P_0$ до прямой, проходящей через точки $P_1$ и $P_2$, находится по формуле, использующей векторное произведение:

$d = \frac{|\vec{P_1P_2} \times \vec{P_1P_0}|}{|\vec{P_1P_2}|}$

а) расстояние от точки $A_1$ до прямой $KM$

Используем точки $A_1(3, 0, 3)$, $K(2, 3, 0)$ и $M(0, 1, 2)$.

Найдем векторы:$\vec{KM} = (0-2, 1-3, 2-0) = (-2, -2, 2)$$\vec{KA_1} = (3-2, 0-3, 3-0) = (1, -3, 3)$

Вычислим их векторное произведение:$\vec{KM} \times \vec{KA_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -2 & -2 & 2 \\ 1 & -3 & 3 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(-6 - (-6)) - \mathbf{j}(-6 - 2) + \mathbf{k}(6 - (-2)) = (0, 8, 8)$.

Найдем модули векторов:$|\vec{KM} \times \vec{KA_1}| = \sqrt{0^2 + 8^2 + 8^2} = \sqrt{128} = 8\sqrt{2}$.$|\vec{KM}| = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.

Расстояние $d$ равно:$d = \frac{8\sqrt{2}}{2\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{6}}{3}$.

Ответ: $d = \frac{4\sqrt{6}}{3}$.

б) расстояние от точки $M$ до прямой $A_1K$

Используем точки $M(0, 1, 2)$, $A_1(3, 0, 3)$ и $K(2, 3, 0)$.

Найдем векторы:$\vec{A_1K} = (2-3, 3-0, 0-3) = (-1, 3, -3)$$\vec{A_1M} = (0-3, 1-0, 2-3) = (-3, 1, -1)$

Векторное произведение:$\vec{A_1K} \times \vec{A_1M} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 3 & -3 \\ -3 & 1 & -1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(-3 - (-3)) - \mathbf{j}(1 - 9) + \mathbf{k}(-1 - (-9)) = (0, 8, 8)$.

Модуль векторного произведения: $|\vec{A_1K} \times \vec{A_1M}| = \sqrt{0^2+8^2+8^2} = 8\sqrt{2}$. Модуль направляющего вектора: $|\vec{A_1K}| = \sqrt{(-1)^2 + 3^2 + (-3)^2} = \sqrt{1+9+9} = \sqrt{19}$.

Расстояние $d$ равно:$d = \frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{19}} = \frac{8\sqrt{38}}{19}$.

Ответ: $d = \frac{8\sqrt{38}}{19}$.

в) расстояние от точки $L$ до прямой $BM$

Используем точки $L(\frac{3}{2}, 0, 0)$, $B(3, 3, 0)$ и $M(0, 1, 2)$.

Найдем векторы:$\vec{BM} = (0-3, 1-3, 2-0) = (-3, -2, 2)$$\vec{BL} = (\frac{3}{2}-3, 0-3, 0-0) = (-\frac{3}{2}, -3, 0)$

Векторное произведение:$\vec{BM} \times \vec{BL} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -3 & -2 & 2 \\ -3/2 & -3 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 - (-6)) - \mathbf{j}(0 - (-3)) + \mathbf{k}(9 - 3) = (6, -3, 6)$.

Модуль векторного произведения: $|\vec{BM} \times \vec{BL}| = \sqrt{6^2+(-3)^2+6^2} = \sqrt{36+9+36} = \sqrt{81} = 9$. Модуль направляющего вектора: $|\vec{BM}| = \sqrt{(-3)^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{9+4+4} = \sqrt{17}$.

Расстояние $d$ равно:$d = \frac{9}{\sqrt{17}} = \frac{9\sqrt{17}}{17}$.

Ответ: $d = \frac{9\sqrt{17}}{17}$.

г) расстояние от точки $K$ до прямой $AM$

Используем точки $K(2, 3, 0)$, $A(3, 0, 0)$ и $M(0, 1, 2)$.

Найдем векторы:$\vec{AM} = (0-3, 1-0, 2-0) = (-3, 1, 2)$$\vec{AK} = (2-3, 3-0, 0-0) = (-1, 3, 0)$

Векторное произведение:$\vec{AM} \times \vec{AK} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -3 & 1 & 2 \\ -1 & 3 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 - 6) - \mathbf{j}(0 - (-2)) + \mathbf{k}(-9 - (-1)) = (-6, -2, -8)$.

Модуль векторного произведения: $|\vec{AM} \times \vec{AK}| = \sqrt{(-6)^2+(-2)^2+(-8)^2} = \sqrt{36+4+64} = \sqrt{104} = 2\sqrt{26}$. Модуль направляющего вектора: $|\vec{AM}| = \sqrt{(-3)^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{9+1+4} = \sqrt{14}$.

Расстояние $d$ равно:$d = \frac{2\sqrt{26}}{\sqrt{14}} = \frac{2\sqrt{13}}{\sqrt{7}} = \frac{2\sqrt{91}}{7}$.

Ответ: $d = \frac{2\sqrt{91}}{7}$.

д) расстояние от точки $L$ до прямой $AM$

Используем точки $L(\frac{3}{2}, 0, 0)$, $A(3, 0, 0)$ и $M(0, 1, 2)$.

Найдем векторы:$\vec{AM} = (-3, 1, 2)$$\vec{AL} = (\frac{3}{2}-3, 0-0, 0-0) = (-\frac{3}{2}, 0, 0)$

Векторное произведение:$\vec{AM} \times \vec{AL} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -3 & 1 & 2 \\ -3/2 & 0 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 - 0) - \mathbf{j}(0 - (-3)) + \mathbf{k}(0 - (-\frac{3}{2})) = (0, -3, \frac{3}{2})$.

Модуль векторного произведения: $|\vec{AM} \times \vec{AL}| = \sqrt{0^2+(-3)^2+(\frac{3}{2})^2} = \sqrt{9+\frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{45}{4}} = \frac{3\sqrt{5}}{2}$. Модуль направляющего вектора: $|\vec{AM}| = \sqrt{14}$.

Расстояние $d$ равно:$d = \frac{3\sqrt{5}/2}{\sqrt{14}} = \frac{3\sqrt{5}}{2\sqrt{14}} = \frac{3\sqrt{70}}{28}$.

Ответ: $d = \frac{3\sqrt{70}}{28}$.

е) расстояние от точки $K$ до прямой $LM$

Используем точки $K(2, 3, 0)$, $L(\frac{3}{2}, 0, 0)$ и $M(0, 1, 2)$.

Найдем векторы:$\vec{LM} = (0-\frac{3}{2}, 1-0, 2-0) = (-\frac{3}{2}, 1, 2)$$\vec{LK} = (2-\frac{3}{2}, 3-0, 0-0) = (\frac{1}{2}, 3, 0)$

Векторное произведение:$\vec{LM} \times \vec{LK} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -3/2 & 1 & 2 \\ 1/2 & 3 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 - 6) - \mathbf{j}(0 - 1) + \mathbf{k}(-\frac{9}{2} - \frac{1}{2}) = (-6, 1, -5)$.

Модуль векторного произведения: $|\vec{LM} \times \vec{LK}| = \sqrt{(-6)^2+1^2+(-5)^2} = \sqrt{36+1+25} = \sqrt{62}$. Модуль направляющего вектора: $|\vec{LM}| = \sqrt{(-\frac{3}{2})^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{\frac{9}{4}+1+4} = \sqrt{\frac{29}{4}} = \frac{\sqrt{29}}{2}$.

Расстояние $d$ равно:$d = \frac{\sqrt{62}}{\sqrt{29}/2} = \frac{2\sqrt{62}}{\sqrt{29}} = \frac{2\sqrt{1798}}{29}$.

Ответ: $d = \frac{2\sqrt{1798}}{29}$.