Номер 508, страница 176 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

508. Все рёбра основания правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$ равны $a$, боковые рёбра равны $2a$, точки $K$ и $M$ — середины рёбер $BC$ и $SD$ соответственно. Найдите расстояние от точки:

а) $A$ до плоскости $SCD$;

б) $A$ до плоскости $BCM$;

в) $K$ до плоскости $BMA$;

г) $C$ до плоскости $AMK$.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Пусть центр основания пирамиды (квадрата $ABCD$) находится в начале координат $O(0, 0, 0)$. Вершина $S$ лежит на оси $Oz$. Тогда координаты вершин основания $ABCD$ со стороной $a$ будут:

$A(-\frac{a}{2}, -\frac{a}{2}, 0)$, $B(\frac{a}{2}, -\frac{a}{2}, 0)$, $C(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0)$, $D(-\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0)$.

Найдем высоту пирамиды $h=SO$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOA$. Катет $OA$ — это половина диагонали квадрата $ABCD$. Диагональ $AC = \sqrt{a^2+a^2} = a\sqrt{2}$, значит $OA = \frac{a\sqrt{2}}{2}$. Гипотенуза $SA$ — это боковое ребро, равное $2a$.

По теореме Пифагора: $h^2 = SO^2 = SA^2 - OA^2 = (2a)^2 - (\frac{a\sqrt{2}}{2})^2 = 4a^2 - \frac{2a^2}{4} = 4a^2 - \frac{a^2}{2} = \frac{7a^2}{2}$.

Отсюда высота $h = \sqrt{\frac{7a^2}{2}} = \frac{a\sqrt{7}}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{14}}{2}$.

Координаты вершины $S(0, 0, \frac{a\sqrt{14}}{2})$.

Точка $K$ — середина ребра $BC$. Ее координаты: $K(\frac{\frac{a}{2}+\frac{a}{2}}{2}, \frac{-\frac{a}{2}+\frac{a}{2}}{2}, \frac{0+0}{2}) = K(\frac{a}{2}, 0, 0)$.

Точка $M$ — середина ребра $SD$. Ее координаты: $M(\frac{0-\frac{a}{2}}{2}, \frac{0+\frac{a}{2}}{2}, \frac{\frac{a\sqrt{14}}{2}+0}{2}) = M(-\frac{a}{4}, \frac{a}{4}, \frac{a\sqrt{14}}{4})$.

Расстояние от точки $P(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax+By+Cz+D=0$ вычисляется по формуле: $d = \frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$.

а) A до плоскости SCD

Найдем уравнение плоскости $SCD$, проходящей через точки $S(0, 0, \frac{a\sqrt{14}}{2})$, $C(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0)$ и $D(-\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0)$.

Найдем векторы, лежащие в плоскости: $\vec{DC} = (\frac{a}{2}-(-\frac{a}{2}), \frac{a}{2}-\frac{a}{2}, 0-0) = (a, 0, 0)$ и $\vec{DS} = (0-(-\frac{a}{2}), 0-\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{14}}{2}-0) = (\frac{a}{2}, -\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{14}}{2})$.

Вектор нормали к плоскости $\vec{n}$ найдем как векторное произведение $\vec{DC} \times \vec{DS}$:

$\vec{n} = (a, 0, 0) \times (\frac{a}{2}, -\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{14}}{2}) = (0 \cdot \frac{a\sqrt{14}}{2} - 0 \cdot (-\frac{a}{2}), 0 \cdot \frac{a}{2} - a \cdot \frac{a\sqrt{14}}{2}, a \cdot (-\frac{a}{2}) - 0 \cdot \frac{a}{2}) = (0, -\frac{a^2\sqrt{14}}{2}, -\frac{a^2}{2})$.

В качестве вектора нормали можно взять коллинеарный вектор, разделив на $-\frac{a^2}{2}$: $\vec{n'} = (0, \sqrt{14}, 1)$.

Уравнение плоскости $SCD$ имеет вид $\sqrt{14}y + z + D_1 = 0$. Подставим координаты точки $D(-\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0)$:

$\sqrt{14}(\frac{a}{2}) + 0 + D_1 = 0 \Rightarrow D_1 = -\frac{a\sqrt{14}}{2}$.

Уравнение плоскости: $\sqrt{14}y + z - \frac{a\sqrt{14}}{2} = 0$.

Найдем расстояние от точки $A(-\frac{a}{2}, -\frac{a}{2}, 0)$ до этой плоскости:

$d(A, SCD) = \frac{|\sqrt{14}(-\frac{a}{2}) + 0 - \frac{a\sqrt{14}}{2}|}{\sqrt{0^2 + (\sqrt{14})^2 + 1^2}} = \frac{|-\frac{a\sqrt{14}}{2} - \frac{a\sqrt{14}}{2}|}{\sqrt{14+1}} = \frac{|-a\sqrt{14}|}{\sqrt{15}} = \frac{a\sqrt{14}}{\sqrt{15}} = \frac{a\sqrt{210}}{15}$.

Ответ: $\frac{a\sqrt{210}}{15}$.

б) A до плоскости BCM

Найдем уравнение плоскости $BCM$, проходящей через точки $B(\frac{a}{2}, -\frac{a}{2}, 0)$, $C(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0)$ и $M(-\frac{a}{4}, \frac{a}{4}, \frac{a\sqrt{14}}{4})$.

Векторы в плоскости: $\vec{BC} = (0, a, 0)$ и $\vec{BM} = (-\frac{a}{4}-\frac{a}{2}, \frac{a}{4}-(-\frac{a}{2}), \frac{a\sqrt{14}}{4}-0) = (-\frac{3a}{4}, \frac{3a}{4}, \frac{a\sqrt{14}}{4})$.

Вектор нормали $\vec{n} = \vec{BC} \times \vec{BM} = (0, a, 0) \times (-\frac{3a}{4}, \frac{3a}{4}, \frac{a\sqrt{14}}{4}) = (\frac{a^2\sqrt{14}}{4}, 0, \frac{3a^2}{4})$.

Возьмем коллинеарный вектор нормали $\vec{n'} = (\sqrt{14}, 0, 3)$.

Уравнение плоскости $BCM$: $\sqrt{14}x + 3z + D_2 = 0$. Подставим координаты точки $B(\frac{a}{2}, -\frac{a}{2}, 0)$:

$\sqrt{14}(\frac{a}{2}) + 3(0) + D_2 = 0 \Rightarrow D_2 = -\frac{a\sqrt{14}}{2}$.

Уравнение плоскости: $\sqrt{14}x + 3z - \frac{a\sqrt{14}}{2} = 0$.

Найдем расстояние от точки $A(-\frac{a}{2}, -\frac{a}{2}, 0)$ до этой плоскости:

$d(A, BCM) = \frac{|\sqrt{14}(-\frac{a}{2}) + 3(0) - \frac{a\sqrt{14}}{2}|}{\sqrt{(\sqrt{14})^2 + 0^2 + 3^2}} = \frac{|-\frac{a\sqrt{14}}{2} - \frac{a\sqrt{14}}{2}|}{\sqrt{14+9}} = \frac{|-a\sqrt{14}|}{\sqrt{23}} = \frac{a\sqrt{14}}{\sqrt{23}} = \frac{a\sqrt{322}}{23}$.

Ответ: $\frac{a\sqrt{322}}{23}$.

в) K до плоскости BMA

Найдем уравнение плоскости $BMA$, проходящей через точки $B(\frac{a}{2}, -\frac{a}{2}, 0)$, $M(-\frac{a}{4}, \frac{a}{4}, \frac{a\sqrt{14}}{4})$ и $A(-\frac{a}{2}, -\frac{a}{2}, 0)$.

Векторы в плоскости: $\vec{AB} = (a, 0, 0)$ и $\vec{AM} = (-\frac{a}{4}-(-\frac{a}{2}), \frac{a}{4}-(-\frac{a}{2}), \frac{a\sqrt{14}}{4}-0) = (\frac{a}{4}, \frac{3a}{4}, \frac{a\sqrt{14}}{4})$.

Вектор нормали $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AM} = (a, 0, 0) \times (\frac{a}{4}, \frac{3a}{4}, \frac{a\sqrt{14}}{4}) = (0, -\frac{a^2\sqrt{14}}{4}, \frac{3a^2}{4})$.

Возьмем коллинеарный вектор нормали $\vec{n'} = (0, -\sqrt{14}, 3)$.

Уравнение плоскости $BMA$: $-\sqrt{14}y + 3z + D_3 = 0$. Подставим координаты точки $A(-\frac{a}{2}, -\frac{a}{2}, 0)$:

$-\sqrt{14}(-\frac{a}{2}) + 3(0) + D_3 = 0 \Rightarrow D_3 = -\frac{a\sqrt{14}}{2}$.

Уравнение плоскости: $-\sqrt{14}y + 3z - \frac{a\sqrt{14}}{2} = 0$.

Найдем расстояние от точки $K(\frac{a}{2}, 0, 0)$ до этой плоскости:

$d(K, BMA) = \frac{|-\sqrt{14}(0) + 3(0) - \frac{a\sqrt{14}}{2}|}{\sqrt{0^2 + (-\sqrt{14})^2 + 3^2}} = \frac{|-\frac{a\sqrt{14}}{2}|}{\sqrt{14+9}} = \frac{\frac{a\sqrt{14}}{2}}{\sqrt{23}} = \frac{a\sqrt{14}}{2\sqrt{23}} = \frac{a\sqrt{322}}{46}$.

Ответ: $\frac{a\sqrt{322}}{46}$.

г) C до плоскости AMK

Найдем уравнение плоскости $AMK$, проходящей через точки $A(-\frac{a}{2}, -\frac{a}{2}, 0)$, $M(-\frac{a}{4}, \frac{a}{4}, \frac{a\sqrt{14}}{4})$ и $K(\frac{a}{2}, 0, 0)$.

Векторы в плоскости: $\vec{AK} = (\frac{a}{2}-(-\frac{a}{2}), 0-(-\frac{a}{2}), 0-0) = (a, \frac{a}{2}, 0)$ и $\vec{AM} = (\frac{a}{4}, \frac{3a}{4}, \frac{a\sqrt{14}}{4})$.

Вектор нормали $\vec{n} = \vec{AK} \times \vec{AM} = (a, \frac{a}{2}, 0) \times (\frac{a}{4}, \frac{3a}{4}, \frac{a\sqrt{14}}{4}) = (\frac{a}{2}\frac{a\sqrt{14}}{4} - 0, 0 - a\frac{a\sqrt{14}}{4}, a\frac{3a}{4} - \frac{a}{2}\frac{a}{4}) = (\frac{a^2\sqrt{14}}{8}, -\frac{a^2\sqrt{14}}{4}, \frac{5a^2}{8})$.

Возьмем коллинеарный вектор нормали, умножив на $\frac{8}{a^2}$: $\vec{n'} = (\sqrt{14}, -2\sqrt{14}, 5)$.

Уравнение плоскости $AMK$: $\sqrt{14}x - 2\sqrt{14}y + 5z + D_4 = 0$. Подставим координаты точки $K(\frac{a}{2}, 0, 0)$:

$\sqrt{14}(\frac{a}{2}) - 2\sqrt{14}(0) + 5(0) + D_4 = 0 \Rightarrow D_4 = -\frac{a\sqrt{14}}{2}$.

Уравнение плоскости: $\sqrt{14}x - 2\sqrt{14}y + 5z - \frac{a\sqrt{14}}{2} = 0$.

Найдем расстояние от точки $C(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0)$ до этой плоскости:

$d(C, AMK) = \frac{|\sqrt{14}(\frac{a}{2}) - 2\sqrt{14}(\frac{a}{2}) + 5(0) - \frac{a\sqrt{14}}{2}|}{\sqrt{(\sqrt{14})^2 + (-2\sqrt{14})^2 + 5^2}} = \frac{|\frac{a\sqrt{14}}{2} - a\sqrt{14} - \frac{a\sqrt{14}}{2}|}{\sqrt{14 + 4 \cdot 14 + 25}} = \frac{|-a\sqrt{14}|}{\sqrt{14+56+25}} = \frac{a\sqrt{14}}{\sqrt{95}} = \frac{a\sqrt{1330}}{95}$.

Ответ: $\frac{a\sqrt{1330}}{95}$.