Номер 515, страница 177 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

515. В правильной пирамиде $SABCD$ все рёбра равны $a$, точки $K$ и $M$ — середины рёбер $AB$ и $SD$ соответственно. Найдите расстояние между прямыми:

а) $AC$ и $SB$;

б) $BC$ и $SA$;

в) $AD$ и $KM$;

г) $SB$ и $MC$;

д) $MK$ и $CB$;

е) $AM$ и $CK$.

Поскольку в правильной пирамиде $SABCD$ все рёбра равны $a$ , её основание $ABCD$ — квадрат со стороной $a$ , а боковые грани — равносторонние треугольники со стороной $a$ . Для решения задач удобно ввести систему координат. Пусть центр основания $O$ совпадает с началом координат $(0,0,0)$ . Вершины основания имеют координаты: $A(-a/2, a/2, 0)$ , $B(a/2, a/2, 0)$ , $C(a/2, -a/2, 0)$ , $D(-a/2, -a/2, 0)$ . Высота пирамиды $SO$ находится из прямоугольного треугольника $SOA$ : $h = SO = \sqrt{SA^2 - AO^2} = \sqrt{a^2 - (a\sqrt{2}/2)^2} = a/\sqrt{2}$ . Координаты вершины $S(0, 0, a\sqrt{2}/2)$ .
Точка $K$ — середина $AB$ , её координаты $K(0, a/2, 0)$ .
Точка $M$ — середина $SD$ , её координаты $M(-a/4, -a/4, a\sqrt{2}/4)$ .

а) AC и SB; Воспользуемся геометрическим методом. Прямая $AC$ перпендикулярна диагонали $BD$ . Высота пирамиды $SO$ перпендикулярна плоскости основания $ABCD$ , а значит, и прямой $AC$ . Поскольку $AC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ( $BD$ и $SO$ ) в плоскости $SBD$ , то $AC \perp (SBD)$ .
Следовательно, расстояние между скрещивающимися прямыми $AC$ и $SB$ равно длине их общего перпендикуляра, который лежит в плоскости $SBD$ и исходит из точки пересечения $AC$ и $SBD$ , то есть из точки $O$ . Искомое расстояние — это высота $OH$ , опущенная из $O$ на $SB$ в треугольнике $SOB$ .
Треугольник $SOB$ прямоугольный ( $\angle SOB = 90^\circ$ ), с катетами $SO = a/\sqrt{2}$ и $OB = \frac{1}{2}BD = a\sqrt{2}/2$ , и гипотенузой $SB=a$ .
Площадь треугольника $SOB$ равна $\frac{1}{2} SO \cdot OB = \frac{1}{2} SB \cdot OH$ . Отсюда $OH = \frac{SO \cdot OB}{SB} = \frac{(a/\sqrt{2}) \cdot (a\sqrt{2}/2)}{a} = \frac{a^2/2}{a} = \frac{a}{2}$ .
Ответ: $\frac{a}{2}$ .

б) BC и SA; Поскольку $BC \parallel AD$ , прямая $BC$ параллельна плоскости $SAD$ . Расстояние между $BC$ и $SA$ равно расстоянию от прямой $BC$ до плоскости $SAD$ . Это расстояние можно найти как высоту $PH$ в треугольнике $SNP$ , где $N$ и $P$ — середины $AD$ и $BC$ соответственно, а высота проведена из $P$ к стороне $SN$ .
Треугольник $SNP$ — равнобедренный с основанием $NP=a$ и боковыми сторонами $SN=SP = a\sqrt{3}/2$ (апофемы боковых граней). Высота $SO = a/\sqrt{2}$ .
Площадь треугольника $SNP$ равна $\frac{1}{2} NP \cdot SO = \frac{1}{2} SN \cdot PH$ . Отсюда $PH = \frac{NP \cdot SO}{SN} = \frac{a \cdot (a/\sqrt{2})}{a\sqrt{3}/2} = \frac{2a}{\sqrt{6}} = \frac{a\sqrt{6}}{3}$ .
Ответ: $\frac{a\sqrt{6}}{3}$ .

в) AD и KM; Воспользуемся методом координат. Расстояние между скрещивающимися прямыми, заданными точкой и направляющим вектором ( $P_1, \vec{d_1}$ и $P_2, \vec{d_2}$ ), вычисляется по формуле $d = \frac{|(\vec{P_2} - \vec{P_1}) \cdot (\vec{d_1} \times \vec{d_2})|}{|\vec{d_1} \times \vec{d_2}|}$ .
Прямая $AD$ : точка $A(-a/2, a/2, 0)$ , вектор $\vec{d_{AD}} = D-A = (0, -a, 0)$ , можно взять $\vec{d_1} = (0, 1, 0)$ .
Прямая $KM$ : точка $K(0, a/2, 0)$ , вектор $\vec{d_{KM}} = M-K = (-a/4, -3a/4, a\sqrt{2}/4)$ , можно взять $\vec{d_2} = (-1, -3, \sqrt{2})$ .
Вектор между точками: $\vec{p} = K-A = (a/2, 0, 0)$ .
$\vec{d_1} \times \vec{d_2} = (\sqrt{2}, 0, 1)$ , $|\vec{d_1} \times \vec{d_2}| = \sqrt{2+0+1} = \sqrt{3}$ .
Смешанное произведение: $\vec{p} \cdot (\vec{d_1} \times \vec{d_2}) = (a/2, 0, 0) \cdot (\sqrt{2}, 0, 1) = a\sqrt{2}/2$ .
$d = \frac{|a\sqrt{2}/2|}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{2}}{2\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{6}}{6}$ .
Ответ: $\frac{a\sqrt{6}}{6}$ .

г) SB и MC; В пункте а) была найдена плоскость $\pi_1$ , содержащая $SB$ и параллельная $AC$ , с уравнением $\sqrt{2}x + \sqrt{2}y + 2z - a\sqrt{2} = 0$ . Найдём расстояние от прямой $MC$ до этой плоскости.
Расстояние от точки $C(a/2, -a/2, 0)$ до $\pi_1$ : $d_C = \frac{|\sqrt{2}(a/2) + \sqrt{2}(-a/2) + 2(0) - a\sqrt{2}|}{\sqrt{2+2+4}} = \frac{|-a\sqrt{2}|}{\sqrt{8}} = \frac{a}{2}$ .
Расстояние от точки $M(-a/4, -a/4, a\sqrt{2}/4)$ до $\pi_1$ : $d_M = \frac{|\sqrt{2}(-a/4) + \sqrt{2}(-a/4) + 2(a\sqrt{2}/4) - a\sqrt{2}|}{\sqrt{8}} = \frac{|-a\sqrt{2}/2 + a\sqrt{2}/2 - a\sqrt{2}|}{\sqrt{8}} = \frac{|-a\sqrt{2}|}{\sqrt{8}} = \frac{a}{2}$ .
Поскольку обе точки прямой $MC$ равноудалены от плоскости $\pi_1$ , прямая $MC$ параллельна этой плоскости. Расстояние между прямой $SB$ (лежащей в $\pi_1$ ) и прямой $MC$ равно расстоянию от $MC$ до $\pi_1$ , то есть $a/2$ .
Ответ: $\frac{a}{2}$ .

д) MK и CB; Так как $CB \parallel AD$ , расстояние между $MK$ и $CB$ равно расстоянию между $MK$ и $AD$ . Это было найдено в пункте в). Можно также проверить прямым вычислением.
Строим плоскость, содержащую $MK$ и параллельную $CB$ . Эта плоскость, как и в пункте в), имеет уравнение $\sqrt{2}x+z=0$ .
Расстояние от любой точки прямой $CB$ , например $C(a/2, -a/2, 0)$ , до этой плоскости: $d = \frac{|\sqrt{2}(a/2) + 0|}{\sqrt{(\sqrt{2})^2+0^2+1^2}} = \frac{a\sqrt{2}/2}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{6}}{6}$ .
Ответ: $\frac{a\sqrt{6}}{6}$ .

е) AM и CK. Воспользуемся методом координат.
Прямая $AM$ : точка $A(-a/2, a/2, 0)$ , вектор $\vec{d_{AM}} = M-A = (a/4, -3a/4, a\sqrt{2}/4)$ . Упрощенный вектор $\vec{d_1} = (1, -3, \sqrt{2})$ .
Прямая $CK$ : точка $C(a/2, -a/2, 0)$ , вектор $\vec{d_{CK}} = K-C = (-a/2, a, 0)$ . Упрощенный вектор $\vec{d_2} = (-1, 2, 0)$ .
Вектор между точками: $\vec{p} = A-C = (-a, a, 0)$ .
Векторное произведение: $\vec{d_1} \times \vec{d_2} = (-2\sqrt{2}, -\sqrt{2}, -1)$ . Его модуль: $|\vec{d_1} \times \vec{d_2}| = \sqrt{(-2\sqrt{2})^2 + (-\sqrt{2})^2 + (-1)^2} = \sqrt{8+2+1} = \sqrt{11}$ .
Смешанное произведение: $\vec{p} \cdot (\vec{d_1} \times \vec{d_2}) = (-a, a, 0) \cdot (-2\sqrt{2}, -\sqrt{2}, -1) = 2a\sqrt{2} - a\sqrt{2} = a\sqrt{2}$ .
Расстояние: $d = \frac{|a\sqrt{2}|}{\sqrt{11}} = \frac{a\sqrt{22}}{11}$ .
Ответ: $\frac{a\sqrt{22}}{11}$ .