Номер 516, страница 177 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

516. В основании прямой четырёхугольной призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежит ромб, $\angle BCD = 60^\circ$, $AB = 2$, $AA_1 = AC$, точки $K$, $P$, $M$ — середины рёбер $AD$, $AB$ и $A_1B_1$ соответственно. Найдите расстояние между прямыми:

a) $AC$ и $MB_1$;

б) $BC$ и $PC_1$;

в) $KM$ и $CD$;

г) $KP$ и $MC$;

д) $MD_1$ и $C_1K$;

е) $C_1P$ и $DM$.

Для решения задачи введем правую декартову систему координат. В основании призмы лежит ромб `ABCD` со стороной `AB=2` и углом `\angle BCD = 60°`. Следовательно, смежный с ним угол `\angle DAB = 180° - 60° = 120°`. Однако, в ромбе противолежащие углы равны, поэтому `\angle DAB = \angle BCD = 60°` и `\angle ABC = \angle ADC = 120°`. Это означает, что треугольники `\triangle ABD` и `\triangle BCD` являются равносторонними со стороной 2.

Поместим начало координат в вершину `A(0,0,0)`. Ось `Ox` направим вдоль ребра `AD`. Тогда вершины основания имеют координаты:

• `A(0,0,0)`
• `D(2,0,0)` (т.к. `AD=2`)
• `B(2 \cos(60^\circ), 2 \sin(60^\circ), 0) = (1, \sqrt{3}, 0)`
• `C = B + \vec{AD} = (1, \sqrt{3}, 0) + (2,0,0) = (3, \sqrt{3}, 0)`

Высота призмы `h = AA_1`. По условию `AA_1 = AC`. Найдем длину диагонали `AC`:

`AC = |\vec{AC}| = \sqrt{(3-0)^2 + (\sqrt{3}-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{9+3} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}`.

Таким образом, высота призмы `h = 2\sqrt{3}`. Так как призма прямая, ее боковые ребра перпендикулярны основанию. Координаты вершин верхнего основания:

• `A_1(0,0, 2\sqrt{3})`
• `B_1(1, \sqrt{3}, 2\sqrt{3})`
• `C_1(3, \sqrt{3}, 2\sqrt{3})`
• `D_1(2, 0, 2\sqrt{3})`

Найдем координаты заданных точек `K, P, M`:

• `K` — середина `AD`: `K(\frac{0+2}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}) = (1,0,0)`
• `P` — середина `AB`: `P(\frac{0+1}{2}, \frac{0+\sqrt{3}}{2}, \frac{0+0}{2}) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)`
• `M` — середина `A_1B_1`: `M(\frac{0+1}{2}, \frac{0+\sqrt{3}}{2}, \frac{2\sqrt{3}+2\sqrt{3}}{2}) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 2\sqrt{3})`

Расстояние `d` между скрещивающимися прямыми, одна из которых проходит через точку `T_1` с направляющим вектором `\vec{v_1}`, а вторая — через точку `T_2` с направляющим вектором `\vec{v_2}`, вычисляется по формуле смешанного произведения:

`d = \frac{|\vec{T_1T_2} \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})|}{|\vec{v_1} \times \vec{v_2}|}`.

а) AC и MB₁

Прямая `AC` лежит в плоскости основания `z=0`. Точка `M` является серединой ребра `A_1B_1`, поэтому прямая `MB_1` совпадает с прямой `A_1B_1`. Прямая `A_1B_1` лежит в плоскости верхнего основания `z = 2\sqrt{3}`.

Направляющий вектор прямой `AC`: `\vec{v_1} = \vec{AC} = (3, \sqrt{3}, 0)`. Направляющий вектор прямой `A_1B_1`: `\vec{v_2} = \vec{A_1B_1} = (1, \sqrt{3}, 0)`. Обе прямые лежат в горизонтальных плоскостях (их z-координаты постоянны), т.е. они параллельны плоскости `Oxy`. Общий перпендикуляр к ним будет параллелен оси `Oz`. Расстояние между прямыми равно расстоянию между плоскостями, в которых они лежат.

Расстояние равно `h = 2\sqrt{3}`.

Ответ: `$2\sqrt{3}$`

б) BC и PC₁

Для прямой `BC`: точка `B(1, \sqrt{3}, 0)`, направляющий вектор `\vec{v_1} = \vec{BC} = (2,0,0)`, можно взять `\vec{u_1} = (1,0,0)`. Для прямой `PC_1`: точка `P(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)`, направляющий вектор `\vec{v_2} = \vec{PC_1} = C_1 - P = (3 - \frac{1}{2}, \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}, 2\sqrt{3} - 0) = (\frac{5}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 2\sqrt{3})`. Вектор, соединяющий точки на прямых: `\vec{PB} = B - P = (1 - \frac{1}{2}, \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}, 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)`. Векторное произведение: `\vec{n} = \vec{u_1} \times \vec{v_2} = (1,0,0) \times (\frac{5}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 2\sqrt{3}) = (0, -2\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{2})`. Модуль векторного произведения: `|\vec{n}| = \sqrt{0^2 + (-2\sqrt{3})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{12 + \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{51}{4}} = \frac{\sqrt{51}}{2}`. Смешанное произведение: `\vec{PB} \cdot \vec{n} = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0) \cdot (0, -2\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{2}) = 0 + \frac{\sqrt{3}}{2}(-2\sqrt{3}) + 0 = -3`. Расстояние: `d = \frac{|-3|}{\sqrt{51}/2} = \frac{6}{\sqrt{51}} = \frac{6\sqrt{51}}{51} = \frac{2\sqrt{51}}{17}`.

Ответ: `$\frac{2\sqrt{51}}{17}$`

в) KM и CD

Для прямой `KM`: точка `K(1,0,0)`, направляющий вектор `\vec{v_1} = \vec{KM} = M-K = (\frac{1}{2}-1, \frac{\sqrt{3}}{2}-0, 2\sqrt{3}-0) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 2\sqrt{3})`. Для прямой `CD`: точка `D(2,0,0)`, направляющий вектор `\vec{v_2} = \vec{CD} = D-C = (2-3, 0-\sqrt{3}, 0-0) = (-1, -\sqrt{3}, 0)`. Вектор, соединяющий точки: `\vec{DK} = K-D = (1-2, 0-0, 0-0) = (-1,0,0)`. Векторное произведение: `\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 2\sqrt{3}) \times (-1, -\sqrt{3}, 0) = (6, -2\sqrt{3}, \sqrt{3})`. Модуль: `|\vec{n}| = \sqrt{6^2 + (-2\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{36+12+3} = \sqrt{51}`. Смешанное произведение: `\vec{DK} \cdot \vec{n} = (-1,0,0) \cdot (6, -2\sqrt{3}, \sqrt{3}) = -6`. Расстояние: `d = \frac{|-6|}{\sqrt{51}} = \frac{6}{\sqrt{51}} = \frac{2\sqrt{51}}{17}`.

Ответ: `$\frac{2\sqrt{51}}{17}$`

г) KP и MC

Для прямой `KP`: точка `K(1,0,0)`, направляющий вектор `\vec{v_1} = \vec{KP} = P-K = (\frac{1}{2}-1, \frac{\sqrt{3}}{2}-0, 0-0) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)`. Для прямой `MC`: точка `M(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 2\sqrt{3})`, направляющий вектор `\vec{v_2} = \vec{MC} = C-M = (3-\frac{1}{2}, \sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}, 0-2\sqrt{3}) = (\frac{5}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, -2\sqrt{3})`. Вектор, соединяющий точки: `\vec{KM} = M-K = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 2\sqrt{3})`. Векторное произведение: `\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0) \times (\frac{5}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, -2\sqrt{3}) = (-3, -\sqrt{3}, -\frac{3\sqrt{3}}{2})`. Модуль: `|\vec{n}| = \sqrt{(-3)^2 + (-\sqrt{3})^2 + (-\frac{3\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{9+3+\frac{27}{4}} = \sqrt{12+\frac{27}{4}} = \sqrt{\frac{48+27}{4}} = \sqrt{\frac{75}{4}} = \frac{5\sqrt{3}}{2}`. Смешанное произведение: `\vec{KM} \cdot \vec{n} = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 2\sqrt{3}) \cdot (-3, -\sqrt{3}, -\frac{3\sqrt{3}}{2}) = \frac{3}{2} - \frac{3}{2} - 9 = -9`. Расстояние: `d = \frac{|-9|}{5\sqrt{3}/2} = \frac{18}{5\sqrt{3}} = \frac{18\sqrt{3}}{15} = \frac{6\sqrt{3}}{5}`.

Ответ: `$\frac{6\sqrt{3}}{5}$`

д) MD₁ и C₁K

Для прямой `MD_1`: точка `M(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 2\sqrt{3})`, направляющий вектор `\vec{v_1} = \vec{MD_1} = D_1-M = (2-\frac{1}{2}, 0-\frac{\sqrt{3}}{2}, 2\sqrt{3}-2\sqrt{3}) = (\frac{3}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)`. Для прямой `C_1K`: точка `K(1,0,0)`, направляющий вектор `\vec{v_2} = \vec{C_1K} = K-C_1 = (1-3, 0-\sqrt{3}, 0-2\sqrt{3}) = (-2, -\sqrt{3}, -2\sqrt{3})`. Вектор, соединяющий точки: `\vec{KM} = M-K = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 2\sqrt{3})`. Векторное произведение: `\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = (\frac{3}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0) \times (-2, -\sqrt{3}, -2\sqrt{3}) = (3, 3\sqrt{3}, -\frac{5\sqrt{3}}{2})`. Модуль: `|\vec{n}| = \sqrt{3^2 + (3\sqrt{3})^2 + (-\frac{5\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{9+27+\frac{75}{4}} = \sqrt{36+\frac{75}{4}} = \sqrt{\frac{144+75}{4}} = \frac{\sqrt{219}}{2}`. Смешанное произведение: `\vec{KM} \cdot \vec{n} = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 2\sqrt{3}) \cdot (3, 3\sqrt{3}, -\frac{5\sqrt{3}}{2}) = -\frac{3}{2} + \frac{9}{2} - 15 = 3-15 = -12`. Расстояние: `d = \frac{|-12|}{\sqrt{219}/2} = \frac{24}{\sqrt{219}} = \frac{24\sqrt{219}}{219} = \frac{8\sqrt{219}}{73}`.

Ответ: `$\frac{8\sqrt{219}}{73}$`

е) C₁P и DM

Для прямой `C_1P`: точка `P(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)`, направляющий вектор `\vec{v_1} = \vec{C_1P} = P-C_1 = (\frac{1}{2}-3, \frac{\sqrt{3}}{2}-\sqrt{3}, 0-2\sqrt{3}) = (-\frac{5}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, -2\sqrt{3})`. Для прямой `DM`: точка `D(2,0,0)`, направляющий вектор `\vec{v_2} = \vec{DM} = M-D = (\frac{1}{2}-2, \frac{\sqrt{3}}{2}-0, 2\sqrt{3}-0) = (-\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 2\sqrt{3})`. Вектор, соединяющий точки: `\vec{DP} = P-D = (\frac{1}{2}-2, \frac{\sqrt{3}}{2}-0, 0-0) = (-\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)`. Векторное произведение: `\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = (-\frac{5}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, -2\sqrt{3}) \times (-\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 2\sqrt{3}) = (0, 8\sqrt{3}, -2\sqrt{3})`. Модуль: `|\vec{n}| = \sqrt{0^2 + (8\sqrt{3})^2 + (-2\sqrt{3})^2} = \sqrt{192+12} = \sqrt{204} = 2\sqrt{51}`. Смешанное произведение: `\vec{DP} \cdot \vec{n} = (-\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0) \cdot (0, 8\sqrt{3}, -2\sqrt{3}) = 0 + \frac{\sqrt{3}}{2}(8\sqrt{3}) + 0 = 12`. Расстояние: `d = \frac{|12|}{2\sqrt{51}} = \frac{6}{\sqrt{51}} = \frac{6\sqrt{51}}{51} = \frac{2\sqrt{51}}{17}`.

Ответ: `$\frac{2\sqrt{51}}{17}$`