Номер 517, страница 177 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

517. Все рёбра правильной шестиугольной призмы $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$ равны $a$, точки $K, P, M$ — середины рёбер $AF, DE$ и $BB_1$ соответственно. Найдите расстояние между прямыми:

а) $AC$ и $MP$;

б) $BC$ и $PC_1$;

в) $KM$ и $CD$;

г) $KP$ и $MC$;

д) $MD_1$ и $KP$;

е) $C_1 P$ и $DM$.

Для решения задачи введем правую декартову систему координат. Поместим начало координат $O$ в центр нижнего основания призмы. Ось $Oz$ направим вдоль оси призмы, а ось $Oy$ проведем через вершины $A$ и $D$. Поскольку все ребра правильной шестиугольной призмы равны $a$, то сторона основания и высота равны $a$.

Координаты вершин нижнего основания:

• $A(0, a, 0)$
• $B(\frac{a\sqrt{3}}{2}, \frac{a}{2}, 0)$
• $C(\frac{a\sqrt{3}}{2}, -\frac{a}{2}, 0)$
• $D(0, -a, 0)$
• $E(-\frac{a\sqrt{3}}{2}, -\frac{a}{2}, 0)$
• $F(-\frac{a\sqrt{3}}{2}, \frac{a}{2}, 0)$

Координаты вершин верхнего основания (смещены по $z$ на $a$):

• $A_1(0, a, a)$
• $B_1(\frac{a\sqrt{3}}{2}, \frac{a}{2}, a)$
• $C_1(\frac{a\sqrt{3}}{2}, -\frac{a}{2}, a)$
• $D_1(0, -a, a)$
• $E_1(-\frac{a\sqrt{3}}{2}, -\frac{a}{2}, a)$
• $F_1(-\frac{a\sqrt{3}}{2}, \frac{a}{2}, a)$

Найдем координаты точек $K$, $P$, $M$:

• $K$ — середина $AF$: $K(\frac{0 - a\sqrt{3}/2}{2}, \frac{a + a/2}{2}, 0) = (-\frac{a\sqrt{3}}{4}, \frac{3a}{4}, 0)$
• $P$ — середина $DE$: $P(\frac{0 - a\sqrt{3}/2}{2}, \frac{-a - a/2}{2}, 0) = (-\frac{a\sqrt{3}}{4}, -\frac{3a}{4}, 0)$
• $M$ — середина $BB_1$: $M(\frac{a\sqrt{3}}{2}, \frac{a}{2}, \frac{a}{2})$

Расстояние $d$ между скрещивающимися прямыми, одна из которых проходит через точку $M_1$ с направляющим вектором $\vec{s_1}$, а вторая — через точку $M_2$ с направляющим вектором $\vec{s_2}$, вычисляется по формуле:

$d = \frac{|(\vec{M_1M_2}, \vec{s_1}, \vec{s_2})|}{|\vec{s_1} \times \vec{s_2}|}$

а) $AC$ и $MP$

Прямая $AC$ проходит через точку $A(0, a, 0)$ с направляющим вектором $\vec{s_1} = \vec{AC} = C - A = (\frac{a\sqrt{3}}{2}, -\frac{3a}{2}, 0)$. Возьмем коллинеарный вектор $\vec{u_1} = (\sqrt{3}, -3, 0)$.
Прямая $MP$ проходит через точку $M(\frac{a\sqrt{3}}{2}, \frac{a}{2}, \frac{a}{2})$ с направляющим вектором $\vec{s_2} = \vec{MP} = P - M = (-\frac{3a\sqrt{3}}{4}, -\frac{5a}{4}, -\frac{a}{2})$. Возьмем коллинеарный вектор $\vec{u_2} = (3\sqrt{3}, 5, 2)$.
Вектор между точками $A$ и $M$: $\vec{AM} = (\frac{a\sqrt{3}}{2}, -\frac{a}{2}, \frac{a}{2})$.
Смешанное произведение: $(\vec{AM}, \vec{u_1}, \vec{u_2}) = \begin{vmatrix} \frac{a\sqrt{3}}{2} & -\frac{a}{2} & \frac{a}{2} \\ \sqrt{3} & -3 & 0 \\ 3\sqrt{3} & 5 & 2 \end{vmatrix} = \frac{a\sqrt{3}}{2}(-6) + \frac{a}{2}(2\sqrt{3}) + \frac{a}{2}(5\sqrt{3}+9\sqrt{3}) = -3a\sqrt{3} + a\sqrt{3} + 7a\sqrt{3} = 5a\sqrt{3}$.
Векторное произведение: $\vec{u_1} \times \vec{u_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \sqrt{3} & -3 & 0 \\ 3\sqrt{3} & 5 & 2 \end{vmatrix} = (-6, -2\sqrt{3}, 14\sqrt{3})$.
Его модуль: $|\vec{u_1} \times \vec{u_2}| = \sqrt{(-6)^2 + (-2\sqrt{3})^2 + (14\sqrt{3})^2} = \sqrt{36+12+588} = \sqrt{636} = 2\sqrt{159}$.
Расстояние: $d = \frac{|5a\sqrt{3}|}{2\sqrt{159}} = \frac{5a\sqrt{3}}{2\sqrt{3 \cdot 53}} = \frac{5a}{2\sqrt{53}} = \frac{5a\sqrt{53}}{106}$.

Ответ: $\frac{5a\sqrt{53}}{106}$.

б) $BC$ и $PC_1$

Прямая $BC$ проходит через точку $B(\frac{a\sqrt{3}}{2}, \frac{a}{2}, 0)$ с направляющим вектором $\vec{s_1} = \vec{BC} = C - B = (0, -a, 0)$. Возьмем коллинеарный вектор $\vec{u_1} = (0, 1, 0)$.
Прямая $PC_1$ проходит через точку $P(-\frac{a\sqrt{3}}{4}, -\frac{3a}{4}, 0)$ с направляющим вектором $\vec{s_2} = \vec{PC_1} = C_1 - P = (\frac{3a\sqrt{3}}{4}, \frac{a}{4}, a)$. Возьмем коллинеарный вектор $\vec{u_2} = (3\sqrt{3}, 1, 4)$.
Вектор между точками $B$ и $P$: $\vec{BP} = (-\frac{3a\sqrt{3}}{4}, -\frac{5a}{4}, 0)$.
Смешанное произведение: $(\vec{BP}, \vec{u_1}, \vec{u_2}) = \begin{vmatrix} -\frac{3a\sqrt{3}}{4} & -\frac{5a}{4} & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 3\sqrt{3} & 1 & 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot (4(-\frac{3a\sqrt{3}}{4})) = -3a\sqrt{3}$.
Векторное произведение: $\vec{u_1} \times \vec{u_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 1 & 0 \\ 3\sqrt{3} & 1 & 4 \end{vmatrix} = (4, 0, -3\sqrt{3})$.
Его модуль: $|\vec{u_1} \times \vec{u_2}| = \sqrt{4^2 + 0^2 + (-3\sqrt{3})^2} = \sqrt{16+27} = \sqrt{43}$.
Расстояние: $d = \frac{|-3a\sqrt{3}|}{\sqrt{43}} = \frac{3a\sqrt{3}}{\sqrt{43}} = \frac{3a\sqrt{129}}{43}$.

Ответ: $\frac{3a\sqrt{129}}{43}$.

в) $KM$ и $CD$

Прямая $CD$ проходит через точку $D(0, -a, 0)$ с направляющим вектором $\vec{s_1} = \vec{CD} = (-a\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{a}{2}, 0)$. Возьмем коллинеарный вектор $\vec{u_1} = (\sqrt{3}, 1, 0)$.
Прямая $KM$ проходит через точку $K(-\frac{a\sqrt{3}}{4}, \frac{3a}{4}, 0)$ с направляющим вектором $\vec{s_2} = \vec{KM} = M-K = (\frac{3a\sqrt{3}}{4}, -\frac{a}{4}, \frac{a}{2})$. Возьмем коллинеарный вектор $\vec{u_2} = (3\sqrt{3}, -1, 2)$.
Вектор между точками $D$ и $K$: $\vec{DK} = (-\frac{a\sqrt{3}}{4}, \frac{7a}{4}, 0)$.
Смешанное произведение: $(\vec{DK}, \vec{u_1}, \vec{u_2}) = \begin{vmatrix} -\frac{a\sqrt{3}}{4} & \frac{7a}{4} & 0 \\ \sqrt{3} & 1 & 0 \\ 3\sqrt{3} & -1 & 2 \end{vmatrix} = 2(-\frac{a\sqrt{3}}{4} - \frac{7a\sqrt{3}}{4}) = 2(-\frac{8a\sqrt{3}}{4}) = -4a\sqrt{3}$.
Векторное произведение: $\vec{u_1} \times \vec{u_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \sqrt{3} & 1 & 0 \\ 3\sqrt{3} & -1 & 2 \end{vmatrix} = (2, -2\sqrt{3}, -4\sqrt{3})$.
Его модуль: $|\vec{u_1} \times \vec{u_2}| = \sqrt{2^2 + (-2\sqrt{3})^2 + (-4\sqrt{3})^2} = \sqrt{4+12+48} = \sqrt{64} = 8$.
Расстояние: $d = \frac{|-4a\sqrt{3}|}{8} = \frac{4a\sqrt{3}}{8} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

г) $KP$ и $MC$

Найдем координаты точек: $K(-\frac{a\sqrt{3}}{4}, \frac{3a}{4}, 0)$, $P(-\frac{a\sqrt{3}}{4}, -\frac{3a}{4}, 0)$, $M(\frac{a\sqrt{3}}{2}, \frac{a}{2}, \frac{a}{2})$, $C(\frac{a\sqrt{3}}{2}, -\frac{a}{2}, 0)$.
Все точки прямой $KP$ имеют координату $x = -\frac{a\sqrt{3}}{4}$, так как $x_K=x_P$. Следовательно, прямая $KP$ лежит в плоскости $x = -\frac{a\sqrt{3}}{4}$.
Все точки прямой $MC$ имеют координату $x = \frac{a\sqrt{3}}{2}$, так как $x_M=x_C$. Следовательно, прямая $MC$ лежит в плоскости $x = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Эти две плоскости параллельны, а прямые не параллельны (их направляющие векторы $\vec{KP}=(0, -\frac{3a}{2}, 0)$ и $\vec{MC}=(0, -a, -\frac{a}{2})$ не коллинеарны). Следовательно, расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию между этими параллельными плоскостями.
$d = |\frac{a\sqrt{3}}{2} - (-\frac{a\sqrt{3}}{4})| = |\frac{2a\sqrt{3} + a\sqrt{3}}{4}| = \frac{3a\sqrt{3}}{4}$.

Ответ: $\frac{3a\sqrt{3}}{4}$.

д) $MD_1$ и $KP$

Прямая $KP$ проходит через точку $K(-\frac{a\sqrt{3}}{4}, \frac{3a}{4}, 0)$ с направляющим вектором $\vec{s_1} = \vec{KP} = (0, -\frac{3a}{2}, 0)$. Возьмем коллинеарный вектор $\vec{u_1} = (0, 1, 0)$.
Прямая $MD_1$ проходит через точку $M(\frac{a\sqrt{3}}{2}, \frac{a}{2}, \frac{a}{2})$ с направляющим вектором $\vec{s_2} = \vec{MD_1} = D_1 - M = (-\frac{a\sqrt{3}}{2}, -\frac{3a}{2}, \frac{a}{2})$. Возьмем коллинеарный вектор $\vec{u_2} = (\sqrt{3}, 3, -1)$.
Вектор между точками $K$ и $M$: $\vec{KM} = (\frac{3a\sqrt{3}}{4}, -\frac{a}{4}, \frac{a}{2})$.
Смешанное произведение: $(\vec{KM}, \vec{u_1}, \vec{u_2}) = \begin{vmatrix} \frac{3a\sqrt{3}}{4} & -\frac{a}{4} & \frac{a}{2} \\ 0 & 1 & 0 \\ \sqrt{3} & 3 & -1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-\frac{3a\sqrt{3}}{4} - \frac{a\sqrt{3}}{2}) = -\frac{5a\sqrt{3}}{4}$.
Векторное произведение: $\vec{u_1} \times \vec{u_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 1 & 0 \\ \sqrt{3} & 3 & -1 \end{vmatrix} = (-1, 0, -\sqrt{3})$.
Его модуль: $|\vec{u_1} \times \vec{u_2}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = 2$.
Расстояние: $d = \frac{|-5a\sqrt{3}/4|}{2} = \frac{5a\sqrt{3}}{8}$.

Ответ: $\frac{5a\sqrt{3}}{8}$.

е) $C_1P$ и $DM$

Прямая $C_1P$ проходит через точку $P(-\frac{a\sqrt{3}}{4}, -\frac{3a}{4}, 0)$ с направляющим вектором $\vec{s_1} = \vec{PC_1} = C_1-P = (\frac{3a\sqrt{3}}{4}, \frac{a}{4}, a)$. Возьмем коллинеарный вектор $\vec{u_1} = (3\sqrt{3}, 1, 4)$.
Прямая $DM$ проходит через точку $D(0, -a, 0)$ с направляющим вектором $\vec{s_2} = \vec{DM} = M-D = (\frac{a\sqrt{3}}{2}, \frac{3a}{2}, \frac{a}{2})$. Возьмем коллинеарный вектор $\vec{u_2} = (\sqrt{3}, 3, 1)$.
Вектор между точками $D$ и $P$: $\vec{DP} = (-\frac{a\sqrt{3}}{4}, \frac{a}{4}, 0)$.
Смешанное произведение: $(\vec{DP}, \vec{u_1}, \vec{u_2}) = \begin{vmatrix} -\frac{a\sqrt{3}}{4} & \frac{a}{4} & 0 \\ 3\sqrt{3} & 1 & 4 \\ \sqrt{3} & 3 & 1 \end{vmatrix} = -\frac{a\sqrt{3}}{4}(1-12) - \frac{a}{4}(3\sqrt{3}-4\sqrt{3}) = \frac{11a\sqrt{3}}{4} + \frac{a\sqrt{3}}{4} = \frac{12a\sqrt{3}}{4} = 3a\sqrt{3}$.
Векторное произведение: $\vec{u_1} \times \vec{u_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3\sqrt{3} & 1 & 4 \\ \sqrt{3} & 3 & 1 \end{vmatrix} = (-11, \sqrt{3}, 8\sqrt{3})$.
Его модуль: $|\vec{u_1} \times \vec{u_2}| = \sqrt{(-11)^2 + (\sqrt{3})^2 + (8\sqrt{3})^2} = \sqrt{121+3+192} = \sqrt{316} = 2\sqrt{79}$.
Расстояние: $d = \frac{|3a\sqrt{3}|}{2\sqrt{79}} = \frac{3a\sqrt{237}}{158}$.

Ответ: $\frac{3a\sqrt{237}}{158}$.