Номер 510, страница 176 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

510. В треугольной пирамиде $SABC$ все плоские углы при вершине $S$ прямые, рёбра $SA$, $SB$ и $SC$ равны $a$, $b$ и $c$ соответственно. Найдите:

а) радиус описанного около пирамиды шара;

б) радиус вписанного в пирамиду шара.

а) радиус описанного около пирамиды шара;

Введем прямоугольную систему координат с началом в вершине $S$. Так как по условию все плоские углы при вершине $S$ прямые ($\angle ASB = \angle BSC = \angle CSA = 90^\circ$), мы можем направить оси координат вдоль ребер $SA$, $SB$ и $SC$. Тогда вершины пирамиды будут иметь следующие координаты: $S(0, 0, 0)$, $A(a, 0, 0)$, $B(0, b, 0)$, $C(0, 0, c)$.

Данную пирамиду можно рассматривать как часть прямоугольного параллелепипеда, построенного на ребрах $SA$, $SB$, $SC$ как на своих измерениях. Вершины пирамиды $S, A, B, C$ являются вершинами этого параллелепипеда. Шар, описанный около пирамиды, будет также описан и около этого параллелепипеда.

Диаметр описанного шара $D$ равен длине большой диагонали параллелепипеда, которая соединяет противоположные вершины, например, $S(0,0,0)$ и $P(a,b,c)$.

Найдем квадрат длины этой диагонали по формуле расстояния между двумя точками:$D^2 = (a-0)^2 + (b-0)^2 + (c-0)^2 = a^2 + b^2 + c^2$.

Следовательно, диаметр $D = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$.

Радиус описанного шара $R$ равен половине диаметра:$R = \frac{D}{2} = \frac{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}{2}$.

Ответ: $R = \frac{1}{2}\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$.

б) радиус вписанного в пирамиду шара.

Радиус вписанного в произвольную пирамиду шара $r$ можно найти по формуле $r = \frac{3V}{S_{полн}}$, где $V$ — объем пирамиды, а $S_{полн}$ — площадь ее полной поверхности.

1. Найдем объем пирамиды $V$.Примем за основание пирамиды прямоугольный треугольник $SAB$. Его площадь равна $S_{SAB} = \frac{1}{2}SA \cdot SB = \frac{1}{2}ab$. Высотой пирамиды, опущенной на это основание, является ребро $SC$, так как $SC$ перпендикулярно плоскости $SAB$. Длина высоты равна $c$. Объем пирамиды: $V = \frac{1}{3} S_{основания} \cdot h = \frac{1}{3} S_{SAB} \cdot SC = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2}ab\right) \cdot c = \frac{abc}{6}$.

2. Найдем площадь полной поверхности $S_{полн}$.Площадь полной поверхности складывается из площадей четырех граней: $S_{SAB}$, $S_{SBC}$, $S_{SAC}$ и $S_{ABC}$. Грани $SAB$, $SBC$ и $SAC$ — прямоугольные треугольники. Их площади:$S_{SAB} = \frac{1}{2}ab$$S_{SBC} = \frac{1}{2}bc$$S_{SAC} = \frac{1}{2}ac$

Для нахождения площади грани $ABC$ воспользуемся свойством прямоугольного тетраэдра (аналог теоремы Пифагора для площадей): квадрат площади грани, противолежащей прямому трехгранному углу, равен сумме квадратов площадей трех других граней.$S_{ABC}^2 = S_{SAB}^2 + S_{SBC}^2 + S_{SAC}^2 = \left(\frac{1}{2}ab\right)^2 + \left(\frac{1}{2}bc\right)^2 + \left(\frac{1}{2}ac\right)^2 = \frac{a^2b^2 + b^2c^2 + a^2c^2}{4}$. Отсюда, $S_{ABC} = \sqrt{\frac{a^2b^2 + b^2c^2 + a^2c^2}{4}} = \frac{1}{2}\sqrt{a^2b^2 + b^2c^2 + a^2c^2}$.

Теперь найдем площадь полной поверхности:$S_{полн} = S_{SAB} + S_{SBC} + S_{SAC} + S_{ABC} = \frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}bc + \frac{1}{2}ac + \frac{1}{2}\sqrt{a^2b^2 + b^2c^2 + a^2c^2}$.$S_{полн} = \frac{1}{2}(ab+bc+ac+\sqrt{a^2b^2 + b^2c^2 + a^2c^2})$.

3. Вычислим радиус вписанного шара $r$.Подставим найденные значения $V$ и $S_{полн}$ в формулу:$r = \frac{3V}{S_{полн}} = \frac{3 \cdot \frac{abc}{6}}{\frac{1}{2}(ab+bc+ac+\sqrt{a^2b^2 + b^2c^2 + a^2c^2})} = \frac{\frac{abc}{2}}{\frac{1}{2}(ab+bc+ac+\sqrt{a^2b^2 + b^2c^2 + a^2c^2})}$.

Упростив выражение, получаем:$r = \frac{abc}{ab+bc+ac+\sqrt{a^2b^2 + b^2c^2 + a^2c^2}}$.

Ответ: $r = \frac{abc}{ab+bc+ac+\sqrt{a^2b^2 + b^2c^2 + a^2c^2}}$.