Номер 506, страница 176 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

506. Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$ равны $a$, точки $K$ и $M$ — середины рёбер $CD$ и $SD$ соответственно.

Найдите расстояние от точки:

а) $A$ до прямой $BM$;

б) $A$ до прямой $CM$;

в) $K$ до прямой $BM$;

г) $A$ до прямой $MK$.

Поскольку все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$ равны $a$, её основанием является квадрат $ABCD$ со стороной $a$, а боковые грани — равносторонние треугольники со стороной $a$. Точки $K$ и $M$ — середины рёбер $CD$ и $SD$ соответственно.

а) А до прямой BM

Расстояние от точки $A$ до прямой $BM$ является высотой $h_A$ треугольника $ABM$, опущенной из вершины $A$. Найдём стороны этого треугольника.

1. Сторона $AB$ является стороной основания, $AB = a$.

2. $AM$ — медиана в равностороннем треугольнике $SAD$. Длина медианы в равностороннем треугольнике со стороной $a$ равна $a\sqrt{3}/2$. Следовательно, $AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

3. Рассмотрим треугольник $SBD$. Он равнобедренный с боковыми сторонами $SB = SD = a$ и основанием $BD = a\sqrt{2}$ (диагональ квадрата). $BM$ — медиана к стороне $SD$. По формуле для длины медианы:$BM^2 = \frac{2SB^2 + 2BD^2 - SD^2}{4} = \frac{2a^2 + 2(a\sqrt{2})^2 - a^2}{4} = \frac{2a^2 + 4a^2 - a^2}{4} = \frac{5a^2}{4}$. Отсюда $BM = \frac{a\sqrt{5}}{2}$.

Теперь в треугольнике $ABM$ известны все три стороны. По теореме косинусов найдём косинус угла $ABM$:

$AM^2 = AB^2 + BM^2 - 2 \cdot AB \cdot BM \cdot \cos(\angle ABM)$

$(\frac{a\sqrt{3}}{2})^2 = a^2 + (\frac{a\sqrt{5}}{2})^2 - 2 \cdot a \cdot \frac{a\sqrt{5}}{2} \cdot \cos(\angle ABM)$

$\frac{3a^2}{4} = a^2 + \frac{5a^2}{4} - a^2\sqrt{5} \cos(\angle ABM)$

$\frac{3a^2}{4} = \frac{9a^2}{4} - a^2\sqrt{5} \cos(\angle ABM)$

$a^2\sqrt{5} \cos(\angle ABM) = \frac{6a^2}{4} = \frac{3a^2}{2}$

$\cos(\angle ABM) = \frac{3}{2\sqrt{5}}$

Зная косинус, найдём синус угла из основного тригонометрического тождества:

$\sin(\angle ABM) = \sqrt{1 - \cos^2(\angle ABM)} = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{2\sqrt{5}}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{20}} = \sqrt{\frac{11}{20}} = \frac{\sqrt{11}}{2\sqrt{5}}$

Искомое расстояние $h_A$ равно:

$h_A = AB \cdot \sin(\angle ABM) = a \cdot \frac{\sqrt{11}}{2\sqrt{5}} = \frac{a\sqrt{55}}{10}$

Ответ: $\frac{a\sqrt{55}}{10}$

б) А до прямой CM

Искомое расстояние — это высота $h_A$ треугольника $ACM$, опущенная из вершины $A$. Найдём стороны этого треугольника.

1. $AC$ — диагональ квадрата $ABCD$, $AC = a\sqrt{2}$.

2. $AM$ — медиана в равностороннем треугольнике $SAD$, $AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

3. $CM$ — медиана в равностороннем треугольнике $SCD$, $CM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Треугольник $ACM$ является равнобедренным с основанием $AC$. Найдём его площадь. Высота $MH$, опущенная из вершины $M$ на основание $AC$, проходит через середину $AC$ — точку $O$ (центр квадрата). Длина отрезка $MO$ может быть найдена как расстояние между точками $M$ и $O$. Введём систему координат с началом в $O$, как описано в пункте а): $M(-\frac{a}{4}, \frac{a}{4}, \frac{a\sqrt{2}}{4})$ и $O(0,0,0)$. Тогда $MO = \sqrt{(-\frac{a}{4})^2 + (\frac{a}{4})^2 + (\frac{a\sqrt{2}}{4})^2} = \sqrt{\frac{a^2}{16} + \frac{a^2}{16} + \frac{2a^2}{16}} = \sqrt{\frac{4a^2}{16}} = \frac{a}{2}$.

Площадь треугольника $ACM$ равна:

$S_{ACM} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot MO = \frac{1}{2} \cdot a\sqrt{2} \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^2\sqrt{2}}{4}$

С другой стороны, площадь можно выразить через искомую высоту $h_A$:

$S_{ACM} = \frac{1}{2} \cdot CM \cdot h_A$

Приравнивая два выражения для площади, получаем:

$\frac{1}{2} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot h_A = \frac{a^2\sqrt{2}}{4}$

$\frac{a\sqrt{3}}{4} h_A = \frac{a^2\sqrt{2}}{4}$

$h_A = \frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{6}}{3}$

Ответ: $\frac{a\sqrt{6}}{3}$

в) K до прямой BM

Искомое расстояние — это высота $h_K$ треугольника $KBM$, опущенная из вершины $K$. Найдём стороны этого треугольника.

1. $BM = \frac{a\sqrt{5}}{2}$ (найдено в пункте а).

2. $KM$ — средняя линия в равностороннем треугольнике $SCD$, так как соединяет середины сторон $SD$ и $CD$. $KM = \frac{1}{2}SC = \frac{a}{2}$.

3. В прямоугольном треугольнике $BCK$ (K — середина CD) по теореме Пифагора: $BK^2 = BC^2 + CK^2 = a^2 + (\frac{a}{2})^2 = \frac{5a^2}{4}$. Отсюда $BK = \frac{a\sqrt{5}}{2}$.

Треугольник $KBM$ — равнобедренный с основанием $KM$. Найдём его площадь. Проведём высоту $BH$ к основанию $KM$. Так как треугольник равнобедренный, $H$ — середина $KM$.

В прямоугольном треугольнике $BHK$ имеем $BH = \sqrt{BK^2 - HK^2} = \sqrt{(\frac{a\sqrt{5}}{2})^2 - (\frac{a}{4})^2} = \sqrt{\frac{5a^2}{4} - \frac{a^2}{16}} = \sqrt{\frac{19a^2}{16}} = \frac{a\sqrt{19}}{4}$.

Площадь треугольника $KBM$:

$S_{KBM} = \frac{1}{2} \cdot KM \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a\sqrt{19}}{4} = \frac{a^2\sqrt{19}}{16}$

С другой стороны, $S_{KBM} = \frac{1}{2} \cdot BM \cdot h_K$.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{a\sqrt{5}}{2} \cdot h_K = \frac{a^2\sqrt{19}}{16}$

$\frac{a\sqrt{5}}{4} h_K = \frac{a^2\sqrt{19}}{16}$

$h_K = \frac{a^2\sqrt{19}}{16} \cdot \frac{4}{a\sqrt{5}} = \frac{a\sqrt{19}}{4\sqrt{5}} = \frac{a\sqrt{95}}{20}$

Ответ: $\frac{a\sqrt{95}}{20}$

г) А до прямой MK

Искомое расстояние — это высота $h_A$ треугольника $AMK$, опущенная из вершины $A$. Найдём стороны этого треугольника.

1. $AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ (медиана в равностороннем $\triangle SAD$).

2. $KM = \frac{a}{2}$ (средняя линия в $\triangle SCD$).

3. В прямоугольном треугольнике $ADK$ по теореме Пифагора: $AK^2 = AD^2 + DK^2 = a^2 + (\frac{a}{2})^2 = \frac{5a^2}{4}$. Отсюда $AK = \frac{a\sqrt{5}}{2}$.

В треугольнике $AMK$ по теореме косинусов найдём косинус угла $AMK$:

$AK^2 = AM^2 + MK^2 - 2 \cdot AM \cdot MK \cdot \cos(\angle AMK)$

$(\frac{a\sqrt{5}}{2})^2 = (\frac{a\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{a}{2})^2 - 2 \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \cos(\angle AMK)$

$\frac{5a^2}{4} = \frac{3a^2}{4} + \frac{a^2}{4} - \frac{a^2\sqrt{3}}{2} \cos(\angle AMK)$

$\frac{5a^2}{4} = a^2 - \frac{a^2\sqrt{3}}{2} \cos(\angle AMK)$

$\frac{a^2\sqrt{3}}{2} \cos(\angle AMK) = a^2 - \frac{5a^2}{4} = -\frac{a^2}{4}$

$\cos(\angle AMK) = -\frac{a^2}{4} \cdot \frac{2}{a^2\sqrt{3}} = -\frac{1}{2\sqrt{3}}$

Найдём синус этого угла:

$\sin(\angle AMK) = \sqrt{1 - \left(-\frac{1}{2\sqrt{3}}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{12}} = \sqrt{\frac{11}{12}} = \frac{\sqrt{11}}{2\sqrt{3}}$

Искомое расстояние $h_A$ равно:

$h_A = AM \cdot \sin(\angle AMK) = \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{11}}{2\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{11}}{4}$

Ответ: $\frac{a\sqrt{11}}{4}$