Номер 502, страница 175 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

502. Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$ равны, точка $K$ — середина ребра $SD$. Найдите угол между прямой:

а) $AK$ и плоскостью $ABC;

б) $BK$ и плоскостью $BSC;

в) $BK$ и плоскостью $ASD;

г) $SA$ и плоскостью $SCD.$

Пусть ребро правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$ равно $a$. Так как все ребра равны, то основание $ABCD$ — квадрат со стороной $a$, а боковые грани — равносторонние треугольники со стороной $a$. Пусть $O$ — центр основания (точка пересечения диагоналей). Высота пирамиды $SO$ опускается в центр основания. Диагональ основания $AC = a\sqrt{2}$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOC$. $OC = AC/2 = a\sqrt{2}/2$. По теореме Пифагора, высота пирамиды $SO = \sqrt{SC^2 - OC^2} = \sqrt{a^2 - (a\sqrt{2}/2)^2} = \sqrt{a^2 - a^2/2} = \sqrt{a^2/2} = a/\sqrt{2} = a\sqrt{2}/2$.

а) AK и плоскостью ABC

Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. Найдем проекцию прямой $AK$ на плоскость основания $ABC$. Точка $A$ уже лежит в этой плоскости. Найдем проекцию точки $K$.

Опустим перпендикуляр из точки $K$ на плоскость $ABC$. Пусть $P$ — основание этого перпендикуляра. Так как $K$ — середина ребра $SD$, то ее проекция $P$ будет серединой отрезка $OD$, где $O$ — проекция точки $S$. Таким образом, $AP$ — проекция $AK$ на плоскость $ABC$, а искомый угол — это $\angle KAP$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $KAP$ (прямой угол $\angle KPA$). Катет $KP$ равен половине высоты пирамиды $SO$, так как $KP$ — средняя линия в треугольнике $SOD'$ (где $D'$ - проекция $D$ на плоскость, проходящую через $SO$ и перпендикулярную $OD$, т.е. $D' = D$), или по теореме Фалеса.$KP = \frac{1}{2} SO = \frac{1}{2} \cdot \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{4}$.

Теперь найдем длину проекции $AP$. В плоскости основания рассмотрим прямоугольный треугольник $AOD$ (диагонали квадрата перпендикулярны). $OA = OD = a\sqrt{2}/2$. Точка $P$ — середина $OD$, значит $OP = OD/2 = a\sqrt{2}/4$. В треугольнике $AOP$ по теореме Пифагора ($ \angle AOD = 90^\circ $):$AP^2 = OA^2 + OP^2 = (\frac{a\sqrt{2}}{2})^2 + (\frac{a\sqrt{2}}{4})^2 = \frac{2a^2}{4} + \frac{2a^2}{16} = \frac{a^2}{2} + \frac{a^2}{8} = \frac{4a^2 + a^2}{8} = \frac{5a^2}{8}$.$AP = \sqrt{\frac{5a^2}{8}} = \frac{a\sqrt{5}}{2\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{10}}{4}$.

В прямоугольном треугольнике $KAP$ тангенс искомого угла $\alpha$ равен:$\text{tg}(\alpha) = \frac{KP}{AP} = \frac{a\sqrt{2}/4}{a\sqrt{10}/4} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{10}} = \sqrt{\frac{2}{10}} = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$.

Ответ: $\arctan(\frac{1}{\sqrt{5}})$

б) BK и плоскостью BSC

Искомый угол $\beta$ — это угол между прямой $BK$ и плоскостью $BSC$. Синус этого угла равен отношению расстояния от точки $K$ до плоскости $BSC$ к длине отрезка $BK$.$\sin(\beta) = \frac{d(K, BSC)}{|BK|}$.

1. Найдем длину $BK$. Рассмотрим треугольник $SBD$. $SB = SD = a$, $BD = a\sqrt{2}$. Так как $SB^2+SD^2 = a^2+a^2 = 2a^2 = (a\sqrt{2})^2 = BD^2$, то треугольник $SBD$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $S$. $K$ — середина катета $SD$. $SK = a/2$. В прямоугольном треугольнике $SBK$ по теореме Пифагора:$BK^2 = SB^2 + SK^2 = a^2 + (\frac{a}{2})^2 = a^2 + \frac{a^2}{4} = \frac{5a^2}{4}$.$|BK| = \frac{a\sqrt{5}}{2}$.

2. Найдем расстояние от точки $K$ до плоскости $BSC$. Проведем среднюю линию $KN$ в треугольнике $SCD$, где $N$ — середина $CD$. $KN \parallel SC$, а $SC$ лежит в плоскости $BSC$, следовательно, прямая $KN$ параллельна плоскости $BSC$. Это значит, что расстояние от любой точки прямой $KN$ до плоскости $BSC$ одинаково.$d(K, BSC) = d(N, BSC)$. Точка $N$ — середина $CD$, поэтому расстояние от $N$ до плоскости $BSC$ равно половине расстояния от $D$ до этой же плоскости: $d(N, BSC) = \frac{1}{2} d(D, BSC)$.

Найдем $d(D, BSC)$ методом объемов. Объем тетраэдра $SBCD$ можно вычислить двумя способами:$V_{SBCD} = \frac{1}{3} S_{BCD} \cdot SO = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2}{2} \cdot \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a^3\sqrt{2}}{12}$.$V_{SBCD} = V_{DBSC} = \frac{1}{3} S_{BSC} \cdot d(D, BSC)$. Площадь грани $BSC$ (равносторонний треугольник со стороной $a$): $S_{BSC} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.$\frac{a^3\sqrt{2}}{12} = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot d(D, BSC) \Rightarrow \frac{a^3\sqrt{2}}{12} = \frac{a^2\sqrt{3}}{12} \cdot d(D, BSC)$.$d(D, BSC) = \frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{6}}{3}$. Тогда $d(K, BSC) = \frac{1}{2} d(D, BSC) = \frac{a\sqrt{6}}{6}$.

3. Найдем синус угла:$\sin(\beta) = \frac{d(K, BSC)}{|BK|} = \frac{a\sqrt{6}/6}{a\sqrt{5}/2} = \frac{\sqrt{6}}{6} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{6}}{6\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{6}}{3\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{30}}{15}$.

Ответ: $\arcsin(\frac{\sqrt{30}}{15}})$

в) BK и плоскостью ASD

Искомый угол $\gamma$ — это угол между прямой $BK$ и плоскостью $ASD$. Точка $K$ лежит на ребре $SD$, которое принадлежит плоскости $ASD$. Следовательно, прямая $BK$ пересекает плоскость $ASD$ в точке $K$.

Синус угла $\gamma$ равен отношению расстояния от точки $B$ до плоскости $ASD$ к длине отрезка $BK$.$\sin(\gamma) = \frac{d(B, ASD)}{|BK|}$.

Длину $|BK|$ мы нашли в пункте б): $|BK| = \frac{a\sqrt{5}}{2}$.

Найдем расстояние от точки $B$ до плоскости $ASD$. В силу симметрии правильной пирамиды, расстояние от вершины основания $B$ до противолежащей боковой грани $ASD$ равно расстоянию от вершины $D$ до противолежащей боковой грани $SAB$. Также оно равно расстоянию от $D$ до грани $SBC$, которое мы уже вычислили: $d(D, BSC) = \frac{a\sqrt{6}}{3}$. Итак, $d(B, ASD) = d(D, BSC) = \frac{a\sqrt{6}}{3}$.

Найдем синус угла:$\sin(\gamma) = \frac{d(B, ASD)}{|BK|} = \frac{a\sqrt{6}/3}{a\sqrt{5}/2} = \frac{\sqrt{6}}{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{6}}{3\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{30}}{15}$.

Ответ: $\arcsin(\frac{2\sqrt{30}}{15}})$

г) SA и плоскостью SCD

Искомый угол $\delta$ — это угол между прямой $SA$ и плоскостью $SCD$. Прямая $SA$ пересекает плоскость $SCD$ в точке $S$. Синус угла $\delta$ равен отношению расстояния от точки $A$ до плоскости $SCD$ к длине отрезка $SA$.$\sin(\delta) = \frac{d(A, SCD)}{|SA|}$.

Длина ребра $|SA| = a$.

Найдем расстояние от точки $A$ до плоскости $SCD$ методом объемов. Объем тетраэдра $SACD$ можно вычислить двумя способами:$V_{SACD} = \frac{1}{3} S_{ACD} \cdot SO = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2}{2} \cdot \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a^3\sqrt{2}}{12}$.$V_{SACD} = V_{ASCD} = \frac{1}{3} S_{SCD} \cdot d(A, SCD)$. Площадь грани $SCD$ (равносторонний треугольник): $S_{SCD} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.$\frac{a^3\sqrt{2}}{12} = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot d(A, SCD) \Rightarrow \frac{a^3\sqrt{2}}{12} = \frac{a^2\sqrt{3}}{12} \cdot d(A, SCD)$.$d(A, SCD) = \frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{6}}{3}$.

Найдем синус угла:$\sin(\delta) = \frac{d(A, SCD)}{|SA|} = \frac{a\sqrt{6}/3}{a} = \frac{\sqrt{6}}{3}$.

Ответ: $\arcsin(\frac{\sqrt{6}}{3}})$