Номер 511, страница 176 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

511. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$ точки $M$ и $K$ — середины рёбер $SA$ и $SC$ соответственно, $MA = AB = a$. Найдите расстояние от точки:

а) $M$ до плоскости $BEK$;

б) $M$ до плоскости $ACK$;

в) $E$ до плоскости $BMK$;

г) $B$ до плоскости $KMD$;

д) $M$ до плоскости $BDK$;

е) $A$ до плоскости $BKF$;

ж) $F$ до плоскости $BMK$;

з) $M$ до плоскости $ABK$.

Для решения задачи введем декартову систему координат. Пусть центр основания правильного шестиугольника $O$ совпадает с началом координат $(0, 0, 0)$. Основание $ABCDEF$ лежит в плоскости $Oxy$. Ось $Oz$ направим вдоль высоты пирамиды.

Поскольку сторона основания $AB=a$, а основание — правильный шестиугольник, радиус описанной окружности $R$ также равен $a$. Координаты вершин основания:

• $A = (a, 0, 0)$
• $B = (a \cos(60^\circ), a \sin(60^\circ), 0) = (a/2, a\sqrt{3}/2, 0)$
• $C = (a \cos(120^\circ), a \sin(120^\circ), 0) = (-a/2, a\sqrt{3}/2, 0)$
• $D = (a \cos(180^\circ), a \sin(180^\circ), 0) = (-a, 0, 0)$
• $E = (a \cos(240^\circ), a \sin(240^\circ), 0) = (-a/2, -a\sqrt{3}/2, 0)$
• $F = (a \cos(300^\circ), a \sin(300^\circ), 0) = (a/2, -a\sqrt{3}/2, 0)$

По условию $M$ — середина ребра $SA$ и $MA=a$, следовательно, длина бокового ребра $SA=2a$. Так как пирамида правильная, все боковые ребра равны $2a$. Найдем высоту пирамиды $SO = h$ из прямоугольного треугольника $SOA$ (где $O$ — центр основания):

$h^2 = SA^2 - OA^2 = (2a)^2 - a^2 = 4a^2 - a^2 = 3a^2 \implies h = a\sqrt{3}$.

Таким образом, координаты вершины $S(0, 0, a\sqrt{3})$.

Найдем координаты точек $M$ и $K$:

• $M$ — середина $SA$: $M = (\frac{a+0}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+a\sqrt{3}}{2}) = (a/2, 0, a\sqrt{3}/2)$.
• $K$ — середина $SC$: $K = (\frac{-a/2+0}{2}, \frac{a\sqrt{3}/2+0}{2}, \frac{0+a\sqrt{3}}{2}) = (-a/4, a\sqrt{3}/4, a\sqrt{3}/2)$.

Формула для нахождения расстояния от точки $P(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax+By+Cz+D=0$:

$d = \frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

а) M до плоскости BEK

Найдем уравнение плоскости $BEK$. Точки: $B(a/2, a\sqrt{3}/2, 0)$, $E(-a/2, -a\sqrt{3}/2, 0)$, $K(-a/4, a\sqrt{3}/4, a\sqrt{3}/2)$. Векторы в плоскости: $\vec{BE} = E - B = (-a, -a\sqrt{3}, 0)$ и $\vec{BK} = K - B = (-3a/4, -a\sqrt{3}/4, a\sqrt{3}/2)$. Нормальный вектор $\vec{n} = \vec{BE} \times \vec{BK}$:$\vec{n} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -a & -a\sqrt{3} & 0 \\ -3a/4 & -a\sqrt{3}/4 & a\sqrt{3}/2 \end{vmatrix} = \vec{i}(-3a^2/2) - \vec{j}(-a^2\sqrt{3}/2) + \vec{k}(a^2\sqrt{3}/4 - 3a^2\sqrt{3}/4) = (-3a^2/2, a^2\sqrt{3}/2, -a^2\sqrt{3}/2)$. Упрощенный нормальный вектор $\vec{n'} = (3, -\sqrt{3}, \sqrt{3})$. Уравнение плоскости $BEK$ (используя точку B): $3(x - a/2) - \sqrt{3}(y - a\sqrt{3}/2) + \sqrt{3}z = 0$, что дает $3x - \sqrt{3}y + \sqrt{3}z = 0$. Расстояние от точки $M(a/2, 0, a\sqrt{3}/2)$ до этой плоскости:$d = \frac{|3(a/2) - \sqrt{3}(0) + \sqrt{3}(a\sqrt{3}/2)|}{\sqrt{3^2+(-\sqrt{3})^2+(\sqrt{3})^2}} = \frac{|3a/2 + 3a/2|}{\sqrt{9+3+3}} = \frac{3a}{\sqrt{15}} = \frac{a\sqrt{15}}{5}$.

Ответ: $\frac{a\sqrt{15}}{5}$

б) M до плоскости ACK

Плоскость $ACK$ проходит через точки $A$, $C$ и $K$. Точка $K$ является серединой ребра $SC$, значит, она лежит на прямой $SC$. Следовательно, прямая $SC$ лежит в плоскости $ACK$, а значит и точка $S$ лежит в этой плоскости. Таким образом, плоскость $ACK$ совпадает с плоскостью $SAC$. Точка $M$ является серединой ребра $SA$, значит, она лежит на прямой $SA$. Прямая $SA$ целиком лежит в плоскости $SAC$. Следовательно, точка $M$ лежит в плоскости $ACK$, и расстояние от точки до плоскости равно нулю.

Ответ: $0$

в) E до плоскости BMK

Найдем уравнение плоскости $BMK$. Точки: $B(a/2, a\sqrt{3}/2, 0)$, $M(a/2, 0, a\sqrt{3}/2)$, $K(-a/4, a\sqrt{3}/4, a\sqrt{3}/2)$. Векторы в плоскости: $\vec{BM} = (0, -a\sqrt{3}/2, a\sqrt{3}/2)$ и $\vec{BK} = (-3a/4, -a\sqrt{3}/4, a\sqrt{3}/2)$. Нормальный вектор $\vec{n} = \vec{BM} \times \vec{BK}$:$\vec{n} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & -a\sqrt{3}/2 & a\sqrt{3}/2 \\ -3a/4 & -a\sqrt{3}/4 & a\sqrt{3}/2 \end{vmatrix} = (-3a^2/8, -3a^2\sqrt{3}/8, -3a^2\sqrt{3}/8)$. Упрощенный нормальный вектор $\vec{n'} = (1, \sqrt{3}, \sqrt{3})$. Уравнение плоскости (используя точку M): $1(x - a/2) + \sqrt{3}(y - 0) + \sqrt{3}(z - a\sqrt{3}/2) = 0$, что дает $x + \sqrt{3}y + \sqrt{3}z - 2a = 0$. Расстояние от точки $E(-a/2, -a\sqrt{3}/2, 0)$ до этой плоскости:$d = \frac{|(-a/2) + \sqrt{3}(-a\sqrt{3}/2) + \sqrt{3}(0) - 2a|}{\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2+(\sqrt{3})^2}} = \frac{|-a/2 - 3a/2 - 2a|}{\sqrt{1+3+3}} = \frac{|-2a - 2a|}{\sqrt{7}} = \frac{4a}{\sqrt{7}} = \frac{4a\sqrt{7}}{7}$.

Ответ: $\frac{4a\sqrt{7}}{7}$

г) B до плоскости KMD

Найдем уравнение плоскости $KMD$. Точки: $K(-a/4, a\sqrt{3}/4, a\sqrt{3}/2)$, $M(a/2, 0, a\sqrt{3}/2)$, $D(-a, 0, 0)$. Векторы в плоскости: $\vec{DM} = (3a/2, 0, a\sqrt{3}/2)$ и $\vec{DK} = (3a/4, a\sqrt{3}/4, a\sqrt{3}/2)$. Нормальный вектор $\vec{n} = \vec{DM} \times \vec{DK}$:$\vec{n} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3a/2 & 0 & a\sqrt{3}/2 \\ 3a/4 & a\sqrt{3}/4 & a\sqrt{3}/2 \end{vmatrix} = (-3a^2/8, -3a^2\sqrt{3}/8, 3a^2\sqrt{3}/8)$. Упрощенный нормальный вектор $\vec{n'} = (1, \sqrt{3}, -\sqrt{3})$. Уравнение плоскости (используя точку D): $1(x - (-a)) + \sqrt{3}(y - 0) - \sqrt{3}(z - 0) = 0$, что дает $x + \sqrt{3}y - \sqrt{3}z + a = 0$. Расстояние от точки $B(a/2, a\sqrt{3}/2, 0)$ до этой плоскости:$d = \frac{|(a/2) + \sqrt{3}(a\sqrt{3}/2) - \sqrt{3}(0) + a|}{\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2+(-\sqrt{3})^2}} = \frac{|a/2 + 3a/2 + a|}{\sqrt{1+3+3}} = \frac{|2a + a|}{\sqrt{7}} = \frac{3a}{\sqrt{7}} = \frac{3a\sqrt{7}}{7}$.

Ответ: $\frac{3a\sqrt{7}}{7}$

д) M до плоскости BDK

Найдем уравнение плоскости $BDK$. Точки: $B(a/2, a\sqrt{3}/2, 0)$, $D(-a, 0, 0)$, $K(-a/4, a\sqrt{3}/4, a\sqrt{3}/2)$. Векторы в плоскости: $\vec{DB} = (3a/2, a\sqrt{3}/2, 0)$ и $\vec{DK} = (3a/4, a\sqrt{3}/4, a\sqrt{3}/2)$. Нормальный вектор $\vec{n} = \vec{DB} \times \vec{DK}$:$\vec{n} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3a/2 & a\sqrt{3}/2 & 0 \\ 3a/4 & a\sqrt{3}/4 & a\sqrt{3}/2 \end{vmatrix} = (3a^2/4, -3a^2\sqrt{3}/4, 0)$. Упрощенный нормальный вектор $\vec{n'} = (1, -\sqrt{3}, 0)$. Уравнение плоскости (используя точку D): $1(x - (-a)) - \sqrt{3}(y - 0) + 0(z - 0) = 0$, что дает $x - \sqrt{3}y + a = 0$. Расстояние от точки $M(a/2, 0, a\sqrt{3}/2)$ до этой плоскости:$d = \frac{|(a/2) - \sqrt{3}(0) + a|}{\sqrt{1^2+(-\sqrt{3})^2+0^2}} = \frac{|3a/2|}{\sqrt{1+3}} = \frac{3a/2}{2} = \frac{3a}{4}$.

Ответ: $\frac{3a}{4}$

е) A до плоскости BKF

Найдем уравнение плоскости $BKF$. Точки: $B(a/2, a\sqrt{3}/2, 0)$, $K(-a/4, a\sqrt{3}/4, a\sqrt{3}/2)$, $F(a/2, -a\sqrt{3}/2, 0)$. Векторы в плоскости: $\vec{FB} = (0, a\sqrt{3}, 0)$ и $\vec{FK} = (-3a/4, 3a\sqrt{3}/4, a\sqrt{3}/2)$. Нормальный вектор $\vec{n} = \vec{FB} \times \vec{FK}$:$\vec{n} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & a\sqrt{3} & 0 \\ -3a/4 & 3a\sqrt{3}/4 & a\sqrt{3}/2 \end{vmatrix} = (3a^2/2, 0, 3a^2\sqrt{3}/4)$. Упрощенный нормальный вектор $\vec{n'} = (2, 0, \sqrt{3})$. Уравнение плоскости (используя точку F): $2(x - a/2) + 0(y + a\sqrt{3}/2) + \sqrt{3}(z - 0) = 0$, что дает $2x + \sqrt{3}z - a = 0$. Расстояние от точки $A(a, 0, 0)$ до этой плоскости:$d = \frac{|2(a) + \sqrt{3}(0) - a|}{\sqrt{2^2+0^2+(\sqrt{3})^2}} = \frac{|a|}{\sqrt{4+3}} = \frac{a}{\sqrt{7}} = \frac{a\sqrt{7}}{7}$.

Ответ: $\frac{a\sqrt{7}}{7}$

ж) F до плоскости BMK

Уравнение плоскости $BMK$ было найдено в пункте (в): $x + \sqrt{3}y + \sqrt{3}z - 2a = 0$. Точка $F = (a/2, -a\sqrt{3}/2, 0)$. Расстояние от точки $F$ до этой плоскости:$d = \frac{|(a/2) + \sqrt{3}(-a\sqrt{3}/2) + \sqrt{3}(0) - 2a|}{\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2+(\sqrt{3})^2}} = \frac{|a/2 - 3a/2 - 2a|}{\sqrt{7}} = \frac{|-a - 2a|}{\sqrt{7}} = \frac{3a}{\sqrt{7}} = \frac{3a\sqrt{7}}{7}$.

Ответ: $\frac{3a\sqrt{7}}{7}$

з) M до плоскости ABK

Найдем уравнение плоскости $ABK$. Точки: $A(a, 0, 0)$, $B(a/2, a\sqrt{3}/2, 0)$, $K(-a/4, a\sqrt{3}/4, a\sqrt{3}/2)$. Векторы в плоскости: $\vec{AB} = (-a/2, a\sqrt{3}/2, 0)$ и $\vec{AK} = (-5a/4, a\sqrt{3}/4, a\sqrt{3}/2)$. Нормальный вектор $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AK}$:$\vec{n} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -a/2 & a\sqrt{3}/2 & 0 \\ -5a/4 & a\sqrt{3}/4 & a\sqrt{3}/2 \end{vmatrix} = (3a^2/4, a^2\sqrt{3}/4, a^2\sqrt{3}/2)$. Упрощенный нормальный вектор $\vec{n'} = (3, \sqrt{3}, 2\sqrt{3})$. Уравнение плоскости (используя точку A): $3(x - a) + \sqrt{3}(y - 0) + 2\sqrt{3}(z - 0) = 0$, что дает $3x + \sqrt{3}y + 2\sqrt{3}z - 3a = 0$. Расстояние от точки $M(a/2, 0, a\sqrt{3}/2)$ до этой плоскости:$d = \frac{|3(a/2) + \sqrt{3}(0) + 2\sqrt{3}(a\sqrt{3}/2) - 3a|}{\sqrt{3^2+(\sqrt{3})^2+(2\sqrt{3})^2}} = \frac{|3a/2 + 3a - 3a|}{\sqrt{9+3+12}} = \frac{|3a/2|}{\sqrt{24}} = \frac{3a/2}{2\sqrt{6}} = \frac{3a}{4\sqrt{6}} = \frac{3a\sqrt{6}}{24} = \frac{a\sqrt{6}}{8}$.

Ответ: $\frac{a\sqrt{6}}{8}$