Номер 514, страница 177 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

514. В пирамиде $ABCD$ все рёбра равны $a$, точки $M$, $K$ и $P$ — середины рёбер $AB$, $AC$ и $BD$ соответственно. Найдите расстояние между прямыми:

а) $AC$ и $BD$;

б) $MP$ и $AC$;

в) $AB$ и $KP$;

г) $BC$ и $MD$;

д) $AK$ и $CM$;

е) $AP$ и $CM$.

В условии задачи дана пирамида $ABCD$, у которой все ребра равны $a$. Это означает, что $ABCD$ — правильный тетраэдр. Точки $M$, $K$ и $P$ — середины рёбер $AB$, $AC$ и $BD$ соответственно. Для нахождения расстояний между прямыми воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную систему координат, поместив вершину $A$ в начало координат, вершину $B$ на ось $Ox$, а основание $ABC$ — в плоскость $Oxy$.

Координаты вершин тетраэдра:

• $A = (0, 0, 0)$
• $B = (a, 0, 0)$
• $C = (\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$
• $D = (\frac{a}{2}, \frac{a}{2\sqrt{3}}, a\sqrt{\frac{2}{3}})$

Координаты заданных точек:

• $M$ (середина $AB$): $M = (\frac{a+0}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}) = (\frac{a}{2}, 0, 0)$
• $K$ (середина $AC$): $K = (\frac{0+a/2}{2}, \frac{0+a\sqrt{3}/2}{2}, \frac{0+0}{2}) = (\frac{a}{4}, \frac{a\sqrt{3}}{4}, 0)$
• $P$ (середина $BD$): $P = (\frac{a+a/2}{2}, \frac{0+a/(2\sqrt{3})}{2}, \frac{0+a\sqrt{2/3}}{2}) = (\frac{3a}{4}, \frac{a}{4\sqrt{3}}, \frac{a}{\sqrt{6}})$

Расстояние $d$ между скрещивающимися прямыми, одна из которых проходит через точку $P_1$ с направляющим вектором $\vec{v_1}$, а вторая — через точку $P_2$ с направляющим вектором $\vec{v_2}$, вычисляется по формуле смешанного произведения:

$d = \frac{|(P_2 - P_1) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})|}{| \vec{v_1} \times \vec{v_2} |}$

а) $AC$ и $BD$

Прямые $AC$ и $BD$ — скрещивающиеся рёбра правильного тетраэдра. Расстояние между ними равно длине их общего перпендикуляра, который соединяет середины этих рёбер. В нашем случае это отрезок $KP$, где $K$ — середина $AC$, а $P$ — середина $BD$. (В условии задачи K - середина AC, но для этой подзадачи воспользуемся этим свойством, так как это упрощает решение).

Пусть $K_{AC}$ - середина $AC$, а $P_{BD}$ - середина $BD$. $K_{AC} = K$ и $P_{BD} = P$. Найдем расстояние между точками $K$ и $P$:

$K = (\frac{a}{4}, \frac{a\sqrt{3}}{4}, 0)$, $P = (\frac{3a}{4}, \frac{a}{4\sqrt{3}}, \frac{a}{\sqrt{6}})$

$d^2 = KP^2 = (\frac{3a}{4} - \frac{a}{4})^2 + (\frac{a}{4\sqrt{3}} - \frac{a\sqrt{3}}{4})^2 + (\frac{a}{\sqrt{6}} - 0)^2$

$d^2 = (\frac{2a}{4})^2 + (\frac{a - 3a}{4\sqrt{3}})^2 + \frac{a^2}{6} = (\frac{a}{2})^2 + (\frac{-2a}{4\sqrt{3}})^2 + \frac{a^2}{6}$

$d^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{12} + \frac{a^2}{6} = \frac{3a^2 + a^2 + 2a^2}{12} = \frac{6a^2}{12} = \frac{a^2}{2}$

$d = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $\frac{a\sqrt{2}}{2}$

б) $MP$ и $AC$

$M$ — середина $AB$, $P$ — середина $BD$. Значит, $MP$ — средняя линия треугольника $ABD$, и $MP \parallel AD$. Расстояние между скрещивающимися прямыми $MP$ и $AC$ равно расстоянию от любой точки прямой $MP$ (например, $M$) до плоскости, проходящей через $AC$ и параллельной $MP$. Так как $MP \parallel AD$, то эта плоскость совпадает с плоскостью $ACD$.

Найдем уравнение плоскости $ACD$. Она проходит через начало координат $A(0,0,0)$, поэтому ее уравнение имеет вид $n_x x + n_y y + n_z z = 0$, где $\vec{n} = (n_x, n_y, n_z)$ — вектор нормали.

$\vec{n} = \vec{AC} \times \vec{AD} = (\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0) \times (\frac{a}{2}, \frac{a}{2\sqrt{3}}, a\sqrt{\frac{2}{3}}) = (\frac{a^2\sqrt{2}}{2}, -\frac{a^2\sqrt{6}}{6}, -\frac{a^2\sqrt{3}}{6})$

Уравнение плоскости $ACD$: $\frac{a^2\sqrt{2}}{2}x - \frac{a^2\sqrt{6}}{6}y - \frac{a^2\sqrt{3}}{6}z = 0$, или $3\sqrt{2}x - \sqrt{6}y - \sqrt{3}z = 0$.

Расстояние от точки $M(\frac{a}{2}, 0, 0)$ до этой плоскости:

$d = \frac{|3\sqrt{2}(\frac{a}{2}) - \sqrt{6}(0) - \sqrt{3}(0)|}{\sqrt{(3\sqrt{2})^2 + (-\sqrt{6})^2 + (-\sqrt{3})^2}} = \frac{\frac{3a\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{18+6+3}} = \frac{3a\sqrt{2}}{2\sqrt{27}} = \frac{3a\sqrt{2}}{2 \cdot 3\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{2}}{2\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{6}}{6}$

Ответ: $\frac{a\sqrt{6}}{6}$

в) $AB$ и $KP$

Прямая $AB$: точка $A(0,0,0)$, направляющий вектор $\vec{v_1} = \vec{AB} = (a,0,0)$.

Прямая $KP$: точка $K(\frac{a}{4}, \frac{a\sqrt{3}}{4}, 0)$, направляющий вектор $\vec{v_2} = \vec{KP} = P - K = (\frac{a}{2}, -\frac{a}{2\sqrt{3}}, \frac{a}{\sqrt{6}})$.

Вектор между точками $P_2 - P_1 = K - A = (\frac{a}{4}, \frac{a\sqrt{3}}{4}, 0)$.

$\vec{v_1} \times \vec{v_2} = (a,0,0) \times (\frac{a}{2}, -\frac{a}{2\sqrt{3}}, \frac{a}{\sqrt{6}}) = (0, -\frac{a^2}{\sqrt{6}}, -\frac{a^2}{2\sqrt{3}})$

$|\vec{v_1} \times \vec{v_2}| = \sqrt{0^2 + (-\frac{a^2}{\sqrt{6}})^2 + (-\frac{a^2}{2\sqrt{3}})^2} = \sqrt{\frac{a^4}{6} + \frac{a^4}{12}} = \sqrt{\frac{3a^4}{12}} = \frac{a^2}{2}$

$(K-A) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2}) = (\frac{a}{4}, \frac{a\sqrt{3}}{4}, 0) \cdot (0, -\frac{a^2}{\sqrt{6}}, -\frac{a^2}{2\sqrt{3}}) = -\frac{a^3\sqrt{3}}{4\sqrt{6}} = -\frac{a^3}{4\sqrt{2}}$

$d = \frac{|-\frac{a^3}{4\sqrt{2}}|}{\frac{a^2}{2}} = \frac{a^3}{4\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{a^2} = \frac{a}{2\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{4}$

Ответ: $\frac{a\sqrt{2}}{4}$

г) $BC$ и $MD$

Прямая $BC$: точка $B(a,0,0)$, вектор $\vec{v_1} = \vec{BC} = C-B = (-\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Прямая $MD$: точка $M(\frac{a}{2},0,0)$, вектор $\vec{v_2} = \vec{MD} = D-M = (0, \frac{a}{2\sqrt{3}}, a\sqrt{\frac{2}{3}})$.

Вектор между точками $P_2-P_1 = M-B = (-\frac{a}{2}, 0, 0)$.

$\vec{v_1} \times \vec{v_2} = (-\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0) \times (0, \frac{a}{2\sqrt{3}}, a\sqrt{\frac{2}{3}}) = (\frac{a^2\sqrt{2}}{2}, \frac{a^2\sqrt{6}}{6}, -\frac{a^2\sqrt{3}}{12})$

$|\vec{v_1} \times \vec{v_2}| = \sqrt{(\frac{a^2\sqrt{2}}{2})^2 + (\frac{a^2\sqrt{6}}{6})^2 + (-\frac{a^2\sqrt{3}}{12})^2} = \sqrt{\frac{a^4}{2} + \frac{a^4}{6} + \frac{3a^4}{144}} = \sqrt{\frac{99a^4}{144}} = \frac{a^2\sqrt{99}}{12} = \frac{a^2\sqrt{11}}{4}$

$(M-B) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2}) = (-\frac{a}{2}, 0, 0) \cdot (\frac{a^2\sqrt{2}}{2}, \frac{a^2\sqrt{6}}{6}, -\frac{a^2\sqrt{3}}{12}) = -\frac{a^3\sqrt{2}}{4}$

$d = \frac{|-\frac{a^3\sqrt{2}}{4}|}{\frac{a^2\sqrt{11}}{4}} = \frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{11}} = \frac{a\sqrt{22}}{11}$

Ответ: $\frac{a\sqrt{22}}{11}$

д) $AK$ и $CM$

Точка $K$ — середина ребра $AC$. Это значит, что точки $A$, $K$, $C$ лежат на одной прямой. Таким образом, прямая $AK$ совпадает с прямой $AC$.

Точка $M$ — середина ребра $AB$. Прямая $CM$ — это медиана треугольника $ABC$, проведенная из вершины $C$.

Прямые $AC$ и $CM$ лежат в одной плоскости (плоскости треугольника $ABC$) и имеют общую точку $C$. Следовательно, они пересекаются, и расстояние между ними равно 0.

Ответ: $0$

е) $AP$ и $CM$

Прямая $AP$: точка $A(0,0,0)$, вектор $\vec{v_1} = \vec{AP} = P-A = (\frac{3a}{4}, \frac{a}{4\sqrt{3}}, \frac{a}{\sqrt{6}})$.

Прямая $CM$: точка $M(\frac{a}{2}, 0, 0)$, вектор $\vec{v_2} = \vec{CM} = M-C = (0, -\frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Вектор между точками $P_2-P_1 = M-A = (\frac{a}{2}, 0, 0)$.

$\vec{v_1} \times \vec{v_2} = (\frac{3a}{4}, \frac{a}{4\sqrt{3}}, \frac{a}{\sqrt{6}}) \times (0, -\frac{a\sqrt{3}}{2}, 0) = (\frac{a^2\sqrt{3}}{2\sqrt{6}}, 0, -\frac{3a^2\sqrt{3}}{8}) = (\frac{a^2\sqrt{2}}{4}, 0, -\frac{3a^2\sqrt{3}}{8})$

$|\vec{v_1} \times \vec{v_2}| = \sqrt{(\frac{a^2\sqrt{2}}{4})^2 + 0^2 + (-\frac{3a^2\sqrt{3}}{8})^2} = \sqrt{\frac{2a^4}{16} + \frac{27a^4}{64}} = \sqrt{\frac{8a^4+27a^4}{64}} = \frac{a^2\sqrt{35}}{8}$

$(M-A) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2}) = (\frac{a}{2}, 0, 0) \cdot (\frac{a^2\sqrt{2}}{4}, 0, -\frac{3a^2\sqrt{3}}{8}) = \frac{a^3\sqrt{2}}{8}$

$d = \frac{|\frac{a^3\sqrt{2}}{8}|}{\frac{a^2\sqrt{35}}{8}} = \frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{35}} = \frac{a\sqrt{70}}{35}$

Ответ: $\frac{a\sqrt{70}}{35}$