Номер 4, страница 169 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

20.4. Стрельба по мишени ведется до второго попадания. Вероятность попадания одним выстрелом равна 0,2. Найдите:

а) закон распределения случайной величины — числа выстрелов до второго попадания;

б) математическое ожидание числа выстрелов до второго попадания.

Пусть $X$ — случайная величина, обозначающая число выстрелов до второго попадания. Вероятность попадания при одном выстреле $p = 0,2$, а вероятность промаха $q = 1 - p = 1 - 0,2 = 0,8$.

Для того чтобы стрельба закончилась на $k$-м выстреле, необходимо, чтобы $k$-й выстрел был вторым попаданием. Это означает, что среди первых $k-1$ выстрелов было ровно одно попадание, а $k$-й выстрел был результативным. Минимальное число выстрелов для этого — два, поэтому $k$ может принимать значения $2, 3, 4, \dots$.

Вероятность того, что среди $k-1$ выстрелов будет ровно одно попадание, определяется по формуле Бернулли. Количество способов выбрать один "удачный" выстрел из $k-1$ равно $C_{k-1}^1 = k-1$. Вероятность такой последовательности (одно попадание и $k-2$ промаха) равна $p \cdot q^{k-2}$. Таким образом, вероятность получить одно попадание за $k-1$ выстрелов составляет:

$P_{k-1}(1) = C_{k-1}^1 p^1 q^{k-2} = (k-1)pq^{k-2}$

Вероятность того, что $k$-й выстрел будет попаданием, равна $p$. Так как выстрелы — независимые события, итоговая вероятность $P(X=k)$ равна произведению этих вероятностей:

$P(X=k) = P_{k-1}(1) \cdot p = \left((k-1)pq^{k-2}\right) \cdot p = (k-1)p^2 q^{k-2}$

Это формула отрицательного биномиального распределения. Подставив числовые значения $p=0,2$ и $q=0,8$, получим искомый закон распределения.

Ответ: Закон распределения задается формулой $P(X=k) = (k-1) \cdot (0,2)^2 \cdot (0,8)^{k-2} = 0,04 \cdot (k-1) \cdot (0,8)^{k-2}$, где $k = 2, 3, 4, \dots$.

Математическое ожидание для случайной величины, распределенной по отрицательному биномиальному закону (число испытаний до $r$-го успеха), вычисляется по формуле $M(X) = \frac{r}{p}$.

В данном случае число необходимых попаданий (успехов) $r=2$, а вероятность успеха $p=0,2$.

Следовательно, математическое ожидание числа выстрелов равно:

$M(X) = \frac{2}{0,2} = 10$

Также можно рассуждать иначе. Пусть $Y_1$ — число выстрелов до первого попадания, а $Y_2$ — число выстрелов от первого до второго попадания. Обе величины распределены по геометрическому закону с параметром $p=0,2$. Математическое ожидание каждой из них равно $M(Y) = 1/p = 1/0,2 = 5$. Общее число выстрелов $X = Y_1 + Y_2$, а его математическое ожидание по свойству линейности равно $M(X) = M(Y_1) + M(Y_2) = 5 + 5 = 10$.

Ответ: 10.