Номер 3, страница 168 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

20.3. Пусть $x$ — число гербов, выпавших при четырех подбрасываниях правильной монеты. Найдите:

а) закон распределения случайной величины $x$;

б) математическое ожидание случайной величины $x$.

Данная задача описывает схему испытаний Бернулли. Проводится $n=4$ независимых испытания (подбрасывания монеты). В каждом испытании есть два исхода: «успех» (выпал герб) и «неудача» (выпала решка).

Поскольку монета правильная, вероятность «успеха» в каждом испытании постоянна и равна $p = 0.5$. Вероятность «неудачи» $q = 1 - p = 0.5$.

Случайная величина $x$ — число гербов (успехов) в 4 испытаниях. Она имеет биномиальное распределение. Вероятность того, что в $n$ испытаниях произойдет ровно $k$ успехов, находится по формуле Бернулли: $$ P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k} $$ где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — число сочетаний из $n$ по $k$.

а) закон распределения случайной величины x;

Случайная величина $x$ может принимать целые значения от 0 до 4. Найдем вероятности для каждого из этих значений:

• $x=0$ (0 гербов, 4 решки):
  $P(x=0) = C_4^0 \cdot (0.5)^0 \cdot (0.5)^4 = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{16} = \frac{1}{16}$
• $x=1$ (1 герб, 3 решки):
  $P(x=1) = C_4^1 \cdot (0.5)^1 \cdot (0.5)^3 = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8} = \frac{4}{16}$
• $x=2$ (2 герба, 2 решки):
  $P(x=2) = C_4^2 \cdot (0.5)^2 \cdot (0.5)^2 = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} = 6 \cdot \frac{1}{16} = \frac{6}{16}$
• $x=3$ (3 герба, 1 решка):
  $P(x=3) = C_4^3 \cdot (0.5)^3 \cdot (0.5)^1 = 4 \cdot \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{2} = \frac{4}{16}$
• $x=4$ (4 герба, 0 решек):
  $P(x=4) = C_4^4 \cdot (0.5)^4 \cdot (0.5)^0 = 1 \cdot \frac{1}{16} \cdot 1 = \frac{1}{16}$

Проверка: сумма всех вероятностей должна быть равна 1.
$\frac{1}{16} + \frac{4}{16} + \frac{6}{16} + \frac{4}{16} + \frac{1}{16} = \frac{1+4+6+4+1}{16} = \frac{16}{16} = 1$.

Закон распределения случайной величины $x$ представим в виде таблицы:

Ответ: Закон распределения представлен в таблице выше.

б) математическое ожидание случайной величины x.

Математическое ожидание $M(x)$ дискретной случайной величины вычисляется по формуле: $$ M(x) = \sum_{i} x_i \cdot p_i $$ Подставляем значения из таблицы распределения: $$ M(x) = 0 \cdot \frac{1}{16} + 1 \cdot \frac{4}{16} + 2 \cdot \frac{6}{16} + 3 \cdot \frac{4}{16} + 4 \cdot \frac{1}{16} $$ $$ M(x) = \frac{0 + 4 + 12 + 12 + 4}{16} = \frac{32}{16} = 2 $$

Для биномиального распределения математическое ожидание также можно найти по упрощенной формуле $M(x) = n \cdot p$: $$ M(x) = 4 \cdot 0.5 = 2 $$

Ответ: 2.