gdz.by
Номер 2, страница 168 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко
Авторы: Арефьева И. Г., Пирютко О. Н.
Тип: Сборник задач
Издательство: Народная асвета
Год издания: 2020 - 2025
Уровень обучения: базовый и повышенный
Цвет обложки: белый с графиком
Допущено Министерством образования Республики Беларусь
Популярные ГДЗ в 11 классе
Глава 5. Элементы теории вероятностей и математической статистики. Параграф 20. Понятие случайной величины - номер 2, страница 168.
№1
№2 (с. 168)
Условие. №2 (с. 168)
скриншот условия
20.2. У стрелка 4 патрона. Он стреляет по мишени, пока не попадет или пока не закончатся патроны. Вероятность попадания равна $0,25$. Найдите:
а) закон распределения случайной величины — количества выстрелов до окончания стрельбы;
б) математическое ожидание количества выстрелов.
Решение. №2 (с. 168)
Решение 2. №2 (с. 168)
Обозначим случайную величину $X$ — количество выстрелов, сделанных стрелком до окончания стрельбы. Условия задачи:
- Количество патронов: 4.
- Вероятность попадания при одном выстреле (успех): $p = 0,25$.
- Вероятность промаха (неудача): $q = 1 - p = 1 - 0,25 = 0,75$.
Стрельба прекращается либо после первого попадания, либо когда заканчиваются все 4 патрона. Следовательно, случайная величина $X$ может принимать значения 1, 2, 3 или 4.
а) закон распределения случайной величины — количества выстрелов до окончания стрельбы;Найдем вероятности для каждого возможного значения $X$.
- Событие $X=1$: Стрельба закончится после первого выстрела. Это произойдет, если первый же выстрел окажется удачным (попадание).
Вероятность этого события: $P(X=1) = p = 0,25 = \frac{1}{4}$ - Событие $X=2$: Стрельба закончится после второго выстрела. Это произойдет, если первый выстрел будет промахом, а второй — попаданием.
Вероятность этого события: $P(X=2) = q \cdot p = 0,75 \cdot 0,25 = 0,1875 = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{16}$ - Событие $X=3$: Стрельба закончится после третьего выстрела. Это произойдет, если первые два выстрела будут промахами, а третий — попаданием.
Вероятность этого события: $P(X=3) = q^2 \cdot p = (0,75)^2 \cdot 0,25 = 0,5625 \cdot 0,25 = 0,140625 = (\frac{3}{4})^2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{9}{16} \cdot \frac{1}{4} = \frac{9}{64}$ - Событие $X=4$: Будет сделано 4 выстрела. Это произойдет, если первые три выстрела оказались промахами. Четвертый выстрел будет сделан в любом случае, и после него стрельба прекратится независимо от его исхода (либо из-за попадания, либо потому что патроны закончились).
Вероятность этого события равна вероятности трех промахов подряд: $P(X=4) = q^3 = (0,75)^3 = 0,421875 = (\frac{3}{4})^3 = \frac{27}{64}$
Проверим, что сумма всех вероятностей равна 1, как и должно быть для закона распределения:
$P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) = \frac{1}{4} + \frac{3}{16} + \frac{9}{64} + \frac{27}{64}$Приведем к общему знаменателю 64:
$\frac{16}{64} + \frac{12}{64} + \frac{9}{64} + \frac{27}{64} = \frac{16+12+9+27}{64} = \frac{64}{64} = 1$
Закон распределения составлен верно.
Ответ: Закон распределения случайной величины $X$ представлен в таблице:
| $x_i$ (количество выстрелов) | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| $p_i$ (вероятность) | $\frac{1}{4}$ | $\frac{3}{16}$ | $\frac{9}{64}$ | $\frac{27}{64}$ |
б) математическое ожидание количества выстрелов.
Математическое ожидание $E(X)$ для дискретной случайной величины вычисляется по формуле суммы произведений ее возможных значений на их вероятности:
$E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i = x_1 p_1 + x_2 p_2 + x_3 p_3 + x_4 p_4$Подставляем значения из найденного закона распределения:
$E(X) = 1 \cdot \frac{1}{4} + 2 \cdot \frac{3}{16} + 3 \cdot \frac{9}{64} + 4 \cdot \frac{27}{64}$Выполняем вычисления:
$E(X) = \frac{1}{4} + \frac{6}{16} + \frac{27}{64} + \frac{108}{64}$Приводим все слагаемые к общему знаменателю 64:
$E(X) = \frac{1 \cdot 16}{64} + \frac{6 \cdot 4}{64} + \frac{27}{64} + \frac{108}{64} = \frac{16}{64} + \frac{24}{64} + \frac{27}{64} + \frac{108}{64}$Складываем числители:
$E(X) = \frac{16 + 24 + 27 + 108}{64} = \frac{175}{64}$Представим результат в виде смешанного числа, выделив целую часть из неправильной дроби $\frac{175}{64}$:
$175 \div 64 = 2$ (остаток $175 - 2 \cdot 64 = 175 - 128 = 47$)Таким образом, $E(X) = 2\frac{47}{64}$.
Ответ: 2$\frac{47}{64}$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @gdz_by_belarus
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 2 расположенного на странице 168 к сборнику задач 2020 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №2 (с. 168), авторов: Арефьева (Ирина Глебовна), Пирютко (Ольга Николаевна), базовый и повышенный уровень обучения учебного пособия издательства Народная асвета.