Номер 14, страница 260 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

14. Найдите число целых решений неравенства

$\log_9 (x^2 - 4x + 5) \ge \log_{11} (4x - x^2 - 3).$

1. Определение области допустимых значений (ОДЗ)

Для существования логарифмов их аргументы должны быть строго положительными. Это приводит к системе неравенств:

$\begin{cases} x^2 - 4x + 5 > 0 \\ 4x - x^2 - 3 > 0\end{cases}$

Рассмотрим первое неравенство: $x^2 - 4x + 5 > 0$.
Найдем дискриминант квадратного трехчлена: $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4$.
Поскольку коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1>0$) и дискриминант отрицателен ($D<0$), парабола $y = x^2 - 4x + 5$ полностью расположена выше оси абсцисс. Следовательно, неравенство $x^2 - 4x + 5 > 0$ выполняется для всех действительных чисел $x$.

Рассмотрим второе неравенство: $4x - x^2 - 3 > 0$.
Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак на противоположный: $x^2 - 4x + 3 < 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 4, а произведение равно 3. Корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.
Парабола $y = x^2 - 4x + 3$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому она принимает отрицательные значения между корнями. Таким образом, решение этого неравенства: $x \in (1; 3)$.

ОДЗ исходного неравенства является пересечением решений системы, то есть $x \in (1; 3)$.

2. Решение неравенства

Заметим, что аргументы логарифмов связаны между собой. Сделаем замену переменной. Пусть $y = x^2 - 4x + 5$. Тогда выражение $4x - x^2 - 3$ можно преобразовать следующим образом: $4x - x^2 - 3 = -(x^2 - 4x) - 3 = -(x^2 - 4x + 5 - 5) - 3 = -(y - 5) - 3 = -y + 5 - 3 = 2 - y$.

Теперь исходное неравенство можно записать в виде:
$\log_9(y) \geq \log_{11}(2 - y)$

Найдем, какие значения принимает переменная $y = x^2 - 4x + 5 = (x - 2)^2 + 1$ на интервале ОДЗ $x \in (1; 3)$. Вершина параболы $y(x)$ находится в точке $x=2$, где функция принимает свое минимальное значение: $y(2) = (2-2)^2 + 1 = 1$. На границах интервала значения функции равны: $y(1)=1^2-4(1)+5=2$ и $y(3)=3^2-4(3)+5=2$. Следовательно, для $x \in (1; 3)$ переменная $y$ принимает значения из промежутка $y \in [1; 2)$.

Рассмотрим неравенство $\log_9(y) \geq \log_{11}(2 - y)$ на промежутке $y \in [1; 2)$.

• При $y=1$: неравенство принимает вид $\log_9(1) \geq \log_{11}(2-1)$, что равносильно $0 \geq \log_{11}(1)$, или $0 \geq 0$. Это верное утверждение, значит $y=1$ является решением.
• При $y \in (1; 2)$:
  • Левая часть: $\log_9(y)$. Так как основание $9>1$ и $y>1$, то $\log_9(y) > \log_9(1) = 0$.
  • Правая часть: $\log_{11}(2 - y)$. Так как $y \in (1; 2)$, то $2-y \in (0; 1)$. Поскольку основание $11>1$ и аргумент $2-y < 1$, то $\log_{11}(2 - y) < \log_{11}(1) = 0$.

Таким образом, для любого $y \in (1; 2)$ левая часть неравенства положительна, а правая — отрицательна. Следовательно, неравенство $\log_9(y) \geq \log_{11}(2 - y)$ выполняется для всех $y \in (1; 2)$.

Объединяя оба случая, получаем, что решение для $y$ — это промежуток $y \in [1; 2)$.

3. Возврат к переменной x и нахождение целых решений

Теперь вернемся к переменной $x$, решив систему неравенств, вытекающую из $y \in [1; 2)$ и $y=x^2-4x+5$:
$1 \leq x^2 - 4x + 5 < 2$

Эта двойное неравенство эквивалентно системе:
$ \begin{cases} x^2 - 4x + 5 \geq 1 \\ x^2 - 4x + 5 < 2 \end{cases} $
Решим первое неравенство:
$x^2 - 4x + 4 \geq 0 \implies (x-2)^2 \geq 0$. Оно верно для всех действительных $x$.

Решим второе неравенство:
$x^2 - 4x + 3 < 0$. Как было найдено ранее при определении ОДЗ, решением является интервал $x \in (1; 3)$.

Пересечение решений $(-\infty; +\infty)$ и $(1; 3)$ дает итоговое решение исходного неравенства: $x \in (1; 3)$.

Требуется найти число целых решений. В интервале $(1; 3)$ содержится единственное целое число: $x=2$.

Ответ: 1.